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标题: 华杯赛历届真题集:第四届华杯赛决赛一试试题及答案 [打印本页]

作者: 毛毛的夏天    时间: 2012-4-10 14:22
标题: 华杯赛历届真题集:第四届华杯赛决赛一试试题及答案
第四届华杯赛决赛一试试题及答案


  1.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
  2.图1,图2是两个形状、大小完全相同的大长方形,在每个大长方形内放入四个如图3所示的小长方形,斜线区域是空下来的地方,已知大长方形的长比宽多6cm,问:图1,图2中画斜线的区域的周长哪个大?大多少?
  3.这是一个道路图,A处有一大群孩子,这群孩子向东或向北走,在从A开始的每个路口,都有一半人向北走,另一半人向东走,如果先后有60个孩子到路口B,问:先后共有多少个孩子到路口C?
  4. 表示一个四位数, 表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9的不同的数字。已知 ,问:乘积 的最大与最小值差多少?
  5.一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25,除1之外,这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中某两个数之和,问:这组数之和最大值是多少?当这组数之和有最小值时,这组数都有哪些数?并说明和是最小值的理由。
  6.一条大河有A、B两个港口,水由A流向B,水流速度是4千米/小时。甲、乙两船同时由A向B行驶,各自不停地在A、B之间往返航行,甲在静水中的速度是28千米/小时,乙在静水中速度是20千米/小时,已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船(不算开始时甲、乙在A处的那一次)的地点相距40千米,求A、B两港口的距离。  
参考答案
  1.和为1959     2.图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大2AB=12cm    3.走过C的人数为48(人)     4.最大值与最小值的差是525000     5.最大值是80,最小值是61,且1+2+3+5+10+15+25=61     6.240千米
  1.【解】设A为100以内所有奇数之和,B为100以内不与77互质的全体奇数之和,X为100以内与77互质的所有奇数之和,则 X=A-B
  显然A=1+3+5+7+…+99= ×50×100=2500
  又77=7×11
  100以内有约数7的奇数之和为7×(1+3+5+7+9+11+13)= ×7×14=343
  100以内有约数11的奇数之和为 11×(1+3+5+7+9)=1/2 ×5×10=275
  所以B=343+275-77=541
  于是,所求之和为 X=2500-541=1959.
  2.【解】图1中画阴影区域的周长恰好等于大长方形的周长,图2中画阴影区域的周长显然比大长方形的周长小,二者之差是2AB.
  从图2的竖直方向看,AB=a-CD
  再从图2的水平方向看,大长方形的长是a+2b,宽是2b+CD。己知大长方形的长比宽多6cm.所以
  (a+2b)-(2b+CD)=a-CD=6(cm),从而AB=6(cm)
  因此,图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大 2AB=12cm。
  3.【解】在A处的孩子数目看成1份,那么可顺次标出各道口处走过的孩子的份数,
  可见B处有 ,C处有 。C处孩子总数是 60+ × =48(人)
  4.【解】
  可以看出A=1,因为E≠O,1,所以B最大为7,这时E=2由于D、G都不能是O,1,所以D+G=13,C+F=8由于F≠O,1,2,所以C最大为5。从而三位数 最大为759,这时 =34。  最小为234(这时 =759最大)。
  =(1000+ )×(993- ),
  =1000×993-1000× +993× 一 ×
  =993000-7×— - ×
  于是在 最大时,乘积最小, 最小时,乘积最大,因此,所求的差是
  (993000-7×234-234×234)-(993000-7×759-759×759)
  =7×(759-234)+759×759-234×234
  =7×(759-234)+(759+234)×(759-234)
  =7×(759-234)+993×(759-234)
  =1000×<759-234)
  =525000。
  5.【解】数组1,2,3,5,10,15,25的和是61,我们证明61就是最小值。
  首先25是组中两个数a、b的和,不妨设a>b,而除去1外,组中最小的数必定是2(否则这最小的数不是两个数的和,也不是1的两倍)。第三个小的数是3或4,在前一种情况,第四个小的数可能是4、5、6;在后一种情况,第四个小的数可能是5、6、8
  如果b>8,那么除去 1,2,3,4…b…a…25(1)
  及 1,2,3,5…b…a…25(2)
  另外,其它情况各数的和均大于61,而由于b>8,前一种情况,至少要增加一个大于4的数,各数的和仍大于61,后一种情况,各数的和同样会大于61,除非b=10,相应地a=15,即上面所列举的数为61的情况
  如果b≤8,那么a≥17,为了将a表示成两个数的和或一个数的两倍,至少要有一个≥9的数,这样各数的和≥1+2+3+b+9+a+25=65>61,因此只有数组1,2,3,5,10,15,25使和取得最小值61。
  下面,讨论和的最大值,如上所述,除去1外,组中最小的数必定是2,第三个小的数是3或4,在前一种情况,第四个小的数可能是4、5、6;在后一种情况,第四个小的数可能是5、6、8。要使和最大,次大的数可取24,从而数组1,2,4,8,16,24,25的和是80,应为和的最大值。
  6.【解】设A、B两个港口相距S千米,甲、乙两船第二次迎面相遇时的位置与港口A相距x千米,甲船第二次追上乙船时的位置与港口A相距y千米。
  第一步先求x,甲、乙第二次迎面相遇,甲顺水行(S+x)千米,逆水行S千米,乙顺水行S千米,逆水行(S-x)千米,甲顺水速度32(=28+4)千米/小时,逆水速度24(=28-4)千米/小时;乙顺水速度24(=20+4)千米/小时,逆水速度16(=20-4)千米/小时,两船所用时间相等,所以
  32。24 24。16
  即 S十x=2(S-x)
  解得x= S
  第二步求y.如果甲船在逆水时第二次追上乙,那么乙船顺水行nS千米(n为自然数),逆水行(nS-y)千米,甲船顺水行(nS+2S)千米,逆水行(nS+2S-y)千米,并且
  即 
  去分母(两边同乘96)得 (3n-14)S=2y
  由于左边是S的整数倍,右边y<S,所以必有y=
  如果甲船在顺水时第二次追上乙,那么乙船顺水行(nS+y)千米,逆水行nS千米,甲船顺水行(nS+2S+y)千米,逆水行(nS+2S)千米,并且
  化简得 y=(14-3n)S(1)
  由于14除以3余2,所以(14-3n)S≥2S.而y≤S,从而(1)不能成立
  因此,y= S/2
  第三步求S
  由S/2-S/3 =40得
  S=40÷( 1/2-1/3 )=240(千米)
  答:两港相距240千米。



作者: angela    时间: 2012-4-11 08:31
祝越办越好~~~~~~~~~`  
作者: 小雪崩    时间: 2012-4-13 14:06
good!good!good!
作者: 天涯客    时间: 2012-4-13 14:06
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