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标题: 孙子定理 [打印本页]

作者: lina 时间: 2012-4-13 12:10
标题: 孙子定理

在“《孙子定理》诌议”（2011-12-08人教网）一文中，笔者给出用“被除数=除数×不定商+余数”的形式表述《孙子定理》。得到广大读者的关注和肯定。笔者在本文中就该定理的证明再谈点拙见。不当之处，请同仁们批评指教。

《孙子定理》简述如下：

设m1,m2,…,mk为两两互质的正整数；b1,b2,…,bk是任意整数；得方程组：

（1）

记

；

, （i=1,2,…,k）

令Fi满足

，（i=1,2,…,k）（2）

，（0<r<M）（3）

则方程组（1）的解x=r+nM，(n取任意整数)。

证明：事实上，只要用任一mj(j=1,2,…,k)去除特解r，其余数是bj就行了。为此，把（3）式化为：

（4）

下面证明（2）式的正确性。把（2）式化为：

（5）

因为m1,m2,…,mk两两互质，可知Mi与mi也互质。故（5）式等号右端的值就是等号左端Mi与mi的最大公约数。由两数最大公约数的性质可知存在Fi和qi满足（5）式，故（2）式正确。

在（2）式中，当i取j时得

，此式各项同乘bj得：

（6）

另一方面，设

，（i=1,2,…,j-1,j+1,…,k），则

（7）

在

中，i取j得

，则：

（8）

把（6）（7）（8）式代入（4）式得：

设

，由已知条件可知A是个整数；把A代入上式得

，此式充分说明特解r被mj去除余数是bj。

在

等号两边各加nM，得：

显然A+nMj是个整数，这就说明通解r+nM被mj除，余数是bj，定理证毕

作者: 大湖之子 时间: 2012-4-16 11:40
感謝樓主

作者: 因帅被判刑 时间: 2012-4-18 12:49
这个孙子应该不是孙武吧！

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