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标题: 如果对海伦公式求导 [打印本页]

作者: 西门大官人 时间: 2012-4-27 09:01
标题: 如果对海伦公式求导
乘着昨天的文章，我就想着无聊地对一些数学公式求导，我想到了海伦公式，于是海伦公式又被我折腾了。
　　
　　海伦公式是一个已知三角形三边求三角形面积的著名公式，以其美妙的结论流传于世
　　

　　现在如果我们以c为自变量，对S(c)求导的话，会有什么结果？当然，其中p是关于c的函数，所以需要将之换成另外的一种形式
　　
　　f(c)=√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/4
　　
　　=√((a+b)2-c2)(c2-(a-b)2)/4
　　
　　现在对f(c)求导，得到：
　　

　　好了，我看到了，好像没有什么值得探究的，很乱的嘛。没有昨天我们所讲的球体积公式对半径的导数是面积，圆面积公式对半径的导数是圆周长那么漂亮，不过还是有一点值得我们注意：那就是当导数值为零的时候，a2+b2-c2=0，这是什么？勾股定理啊！
　　
　　为什么f'(c)取零的时候，三角形刚好就是直角三角形？除了我们通过上面的公式得出以外，我们有必要找一个直观化的说明。那就先要明白导数取零点时候的几何意义：当导数值为零的时候，原函数取到极值点。虽然极值不一定是最值，不过在这里我们可以这样说。于是这个问题转化为：为何当三角形面积取最大值时，该三角形为直角三角形？
　　
　　在这里就需要请出另外一个三角形面积公式：S=1/2absinα，相信各位都很熟悉的吧！既然在前面我们对f(c)求导，显然我们就必须把a和b当成常数，当a和b固定不变的时候，唯有当sinα=1也就是α=90°的时候，三角形面积取得最大值。
　　
　　由此便解释f'(c)等于零时为什么三角形是直角三角形

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