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标题: 多边形内角和问题的求解技巧 [打印本页]

作者: mouse2011 时间: 2012-4-6 10:53
标题: 多边形内角和问题的求解技巧
本帖最后由 mouse2011 于 2012-4-11 09:35 编辑

多边形内角和问题的求解技巧

一、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。

例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。

分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。

解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。根据题意，得

解得

，即每个外角都等于40°。

所以

，即这个正多边形的边数为9。

二、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。

例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。

解法1：设多边形的边数为n，依题意，得

解得n=8，即这个多边形的边数为8。

解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。

所以，多边形的边数

，即这个多边形的边数为8。

三、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。解题时要注意这种逆向思维的运用。

例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。

分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。多边形内角和是180°的倍数。由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，2570°÷180°=14…30°，由于去掉的是一个小于180°的角，所以去掉的角度是180°-30°=150°，故去掉这个角之前该多边形的内角和里有14+1=15个180°，也就是说，（n－2）·180°=15×180°，于是n－2=15，n=17

解：2570°÷180°=14…30°

14+1=15

15+2=17

所以这个多边形的边数为17 大家可以动动脑筋：如果去掉的是两个内角呢？

四、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。

例4 如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

图1

分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。

解：连接CF。

∵∠COE既是△COF的外角，也是△DOE外角

∴∠COE=∠1+∠2，

∠COE=∠OCF+∠OFC

∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

=（5－2）×180°

=540°

作者: 烨未央 时间: 2012-4-6 13:49
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怎样在论坛发图片帖
http://www.jzyi.net/thread-488-1-1.html

作者: 封云亭 时间: 2012-4-6 14:36
哈哈,有意思~顶顶，继续顶顶。继续顶哦

作者: 帅帅男孩 时间: 2012-4-6 14:36
好帖，有才

作者: dinggela 时间: 2012-4-12 23:59
帮你项项吧

作者: 饭团蚂蚁 时间: 2012-4-20 09:38
好贴！

作者: 桃子 时间: 2012-4-22 17:01
{:4_116:}

作者: sdhyh 时间: 2012-5-29 10:22
谢谢

作者: sdhyh 时间: 2012-7-21 19:58
好帖

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