利用多边形的外角和的不变性解题 - 家长易论坛

【例1】已知一个正多边形的每个内角都是135°，你能求出这个多边形的边数吗？
　　【思考与分析】由于正多边形的每个内角都相等，因此，可将“每个内角都是135°”转化为“每个外角都是45°”，从而利用360°÷n=45°，得出n的值为8.
　　解:因为多边形的每个内角都是135°，
　　所以它的每个外角度数为45°.
　　因为多边形外角和为360°，
　　所以n=360°÷45°=8.
　　所以这个多边形的边数为8.

【例2】正十二边形的每个内角是多少度?
　　【思考与分析一】正十二边形的内角和可以求出来是（12-2）×180°=1800°．由于正十二边形的所有内角都相等，我们可知每个内角为1800°÷12=150°．
　　解法一: 因为n=12，
　　所以12边形的内角和为（12-2）×180°=1800°.
　　因为正12边形的所有内角都相等，
　　所以每个内角为1800°÷12=150°．
　　【思考与分析二】我们还可以从外角出发，十二边形的外角和为360°，而正十二边形的所有内角都相等，而每个外角都与内角互补，可知它的所有外角也都相等，从而每个外角为360°÷12=30°，所以每个内角为180°-30°=150°．
　　解法二：因为12边形的外角和是360°，
　　又因为正12边形的所有内角都相等，
　　所以正12边形的所有外角也都相等，每个外角为360°÷12=30°．
　　所以正12边形的每个内角为180°-30°=150°．
　　【反思】两种方法都可以求解，但解法二的计算量较小，因此关于求正多边形内角度数问题从外角着手更方便.

【例3】已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角等于它相邻外角的9倍，求这个多边形的边数.
　　【思考与分析】本题我们可以根据多边形的每一个内角与每一个外角之间的数量关系求解；或者根据多边形内角和与外角和的整体关系求解.但这两种方法都不如先求出多边形的每一个外角的度数，再转化为求多边形的边数简便.
　　解：设多边形的每一个外角为ｘ，则它的每一个内角为9x，根据题意，得x+9x＝180°.解得x＝18°，所以这个多边形共有360°÷18°＝20个外角，即多边形边数为20.

【例4】小明在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°.请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由．
　　【思考与分析】我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，使它的内角为145°，如果存在，那么这个正多边形的每个外角应为180°-145°=35°.由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n×35°=360°，而满足上述等式的n的值不是整数，所以这样的正多边形不存在，那么一定是小明计算有误．
　　解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数．
　　因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360°．
　　所以（180°-145°）×n=360°．
　　即35°×n=360°．所以 n≈10.3.
　　这与n是整数相矛盾.
　　所以不存在内角是145°的正多边形．所以小明计算不正确．
　　【小结】这几个例题都是利用外角和解决问题的例子，如果我们直接利用内角和来求边数，计算起来会很麻烦，所以在今后的学习中，同学们要善于把正多边形内角和问题转化为不随边数变化的外角和来解答.简单易算这样可以节省很多时间.