华杯赛历届真题集：第四届华杯赛决赛二试试题及答案

毛毛的夏天

第四届华杯赛决赛二试试题及答案

    1. 互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。(例如102和201；35和53，11和11，…称为互为反序的数，但120和21不是互为反序的数)

　　2．某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务。如果交换工作A和B的工作岗位，其它工人生产效率不变时，可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前一小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？

　　3．某校学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过，问：能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A？说明判断过程。

　　4．有6个棱长分别是3cm，4cm，5cm， 的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体 恰有四个面是红色的，有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色的，染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？

　　5．小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次得分是8，a（自然数），0这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到过这样的总积分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”这个总积分。问：a是多少？

　　6．在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照图a在图b的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。

参考答案

　　1.这两个数是165和561     2.可提前108分钟     3.可以找到满足要求的两个学生     4.最多可得到177个一面为红色的小立方体    5.A=13     6.各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，填法不惟一，但不可能少于五种不同数值

　　1.【解】92565＝3×3×5×11×11×17.互为反序的两个自然数中，若其中之一为3的倍数(或11的倍数)，另一个也必为3的倍数(或11的倍数).又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有

　　92565＝(3×5×11)×(3×17×11)＝165×561

　　于是,这两个数为165和561

　　2.【解】把总任务分成72份，原来每小时完成 ＝8份，每份要 ＝7.5分钟

　　A与B交换后，每小时完成 ＝9份，比原来多干了1份，由于其他人工效不变，

　　所以这一份就是A、B二人多干的。

　　同理，C与D交换后，他们二人每小时也要多干1份任务。同时更换后,A与B、C与D每小时都多干一份任务，所以全组工人每小时干了8＋1＋1＝10(份)任务，即每份任务只要 ＝6(分钟)就能干完。因此每干1份任务，提前7.5－6＝1.5(分钟)。72份任务一共提前72×1.5＝108(分钟)。

　　3.【解】首先从读书数最多的学生中找一人甲，由题设，甲至少有一本书C未读过。

　　设B是甲读过的书中的一本，根据题设，可找到学生乙，乙读过B、C。

　　由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书，甲未读过C书，所以甲一定读过一本书A，乙没读过A书，否则乙就比甲至少多读过一本书，这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C耒读过A。因此可以找到满足要求的两个学生。

　　4.【解】一面染红的长方体，显然应将4×5的长方形染红，这时产生20个一面红的小正方体，个数最多

　　二面染红的长方体，显然应将两个4×5的长方形染红，这时产生40个一面红的小正方体，个数最多三面染红的长方体，应将4×5，4×5，4×3的面染红，产生4×(5＋5＋3－4)＝36个一面红的小正方体，其它方法得出的一面红的正方体均少于36个。四面染红的长方体，应将4×5，4×5，4×3，4×3的面染红，产生4×(5＋5＋3＋3－2×4)＝32个一面红的小正方体，其它方法得到的一面红的小正方体均没有这么多五面染缸的长方体，应只留一个3×5的面不染，这时产生(3－2)(5－2)＋(4－1)(5＋5＋3＋3－2×4)＝27个一面红的小正方体，其它染法得到的一面红的小正方体均少于27六面染红的长方体，产生 2[(3－2)(5－2)＋(5－2)(4－2)＋(4－2)(3－2)]＝22 个一面红的小正方体。于是最多得到 22＋27＋32＋36＋40＋20＝177 个一面红的小正方体

　　5.【解】83＋8×3＝107，所以在得到总积分107时，得8分的局数必定小于3(否则83＝107－3×8可以得到)，即得8分的局数为0、1或2，从而107，107－1×8＝99，107－2×8＝91这三个数中必有一个是a的倍数。

　　如果107是a的倍数，那么a＝1或107，但a＝1时，可以得到总积分83；a＝107时，无法得到总积分103，所以这种情况不可能发生。

　　如果99是a的倍数，那么a＝1，3，9，11，33，99。

　　因为83＝9×3＋8×7＝11＋8×9，所以a不能是1，3，9，11(否则83可以得到)。

　　因为103＝99＋14＝33＋70＝2×33＋37，所以a＝99或33时，无法得到总分103。

　　因此这种情况也不可能发生。

　　如果91是a的倍数，那么a＝1，7，13，91，因为83＝7×5＋8×6，所以a≠7.1 103＝91＋12，所以a≠91。

　　因此a＝13，不难验证a＝13符合要求。

　　6.【解】各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，如在A、B、…、H依次填1,5、3、7、8、4、6、2，则中点处恰有五个不同数值6、8、9、10、12。

　　不可能少于五种不同数值，理由如下：

　　以1所在顶点为端点的棱有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是a、b、c，满足a＜b＜c，则这三条棱的中点处的数为1＋a，1＋b和1＋c，满足1＋a＜1＋b＜1＋c。

　　以8所在顶点为端点的棱也有三条，不妨设这三条棱另一端点所填写的数为x、y、2，满足x＜y＜z，则这三条棱的中点处的数为8＋x，8＋y，8＋z，满足8＋x＜8＋y＜8＋z。

　　又 c≤8，1＋c≤9；x≥1，8＋x≥9，

　　所以 1＋a<1＋b<1＋c≤8＋x＜8＋y＜8＋z

　　从而这六条棱中点的六个数不可能少于五种不同的值，因此在12条棱中的点处所写的数不可能有少于五种不同的数值。

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