四年级奥数知识点：速算与巧算

claire

例1 比较下面两个积的大小：

　　A=987654321×123456789，

　　B=987654322×123456788.

　　分析 经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.

　　解： A=987654321×123456789

　　=987654321×(123456788+1)

　　=987654321×123456788+987654321.

　　B=987654322×123456788

　　=(987654321+1)×123456788

　　=987654321×123456788+123456788.

　　因为 987654321>123456788，所以 A>B.

　　例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.

　　241×249 242×248 243×247

　　244×246 245×245.

　　解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.

　　241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9;

　　242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8;

　　243×247=(240+ 3)×(250— 3)= 240×250+3×7;

　　244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6;

　　245×245=(240+5)×(250— 5)=240×250+5×5.

　　恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.

　　一般说来，将一个整数拆成两部分(或两个整数)，两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.

　　如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

　　则5×5=25积最大.

　　例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.

　　解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：

　　1986×5=9930.

　　例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.

　　解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5=64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

　　总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值;五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.

　　如：对于2n+1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n+1，x-n+2，…， x—1， x， x+1，…x+n—1，x+n，其中 x是这2n+1个自然数的平均值.

　　巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.

　　例5 将1～1001各数按下面格式排列：

　　

file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4785.png

　　一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：

　　①1986，②2529，③1989，能否办到?如果办不到，请说明理由.

　　解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.

　　①1986不是9的倍数，故不行;

　　②2529÷9=281，是9的倍数，但是281÷7=40×7+1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行;

　　③1989÷9=221，是9的倍数，且221÷7=31×7+4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.

　　这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢!所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.