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[数学] 数字数位问题

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发表于 2013-8-26 09:22:06 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
法一:
S=1+2+...+2005=2005*2006/2=2005*1003
S除以9余数≡(2+5)*(1+3)≡1
法二:
就是求这个数的各数字之和,被9除的余数。
这样,我们就可以只计算数字的和;
先只计算前2000(不含2000)以前的数字和:
为了使个数是整千个,可以在前面加一个0000
这2000个数用数码表示为:
0000
0001
0002
……
1999
可以看,个位上,由0~9不断循环,每个数字出现的机会相同,每个数字200个;
所以个位数字之和(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)*200
同理,十位上,10个0、10个、……10个9不断循环,每个数字出现的机会也是一样多每个数字200个;
同理,百位上,100个0、100个1、……100个9不断循环,每个数字出现的机会也是一样多,每个数字200个;
千位上,1000个0、1000个1
所以数字之和是:(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)*200*3+1000
=45*600+1000
45是9的倍数,显然从1~1999的数字和被9被就是1000被9除的余数,即1。
从2000开始,有2000、2001、2002、2003、2004、2005六个数
数字之和是:2+3+4+5+6+7,也被9整除。
所以这个多位数被9除  余1.
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