神奇的斐波纳契数列

梦泉森林

神奇的斐波纳契数列

        大家一定不陌生这样一道题：按规律填空，1,1,2,3,5,8，(  )

        这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，叫做斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。这个数列从第三项可是，每一项都等于前两项之和。递推的方法为：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

        一、斐波纳契数列与黄金分割的关系

        有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割1.618.

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面，这些比值越接近黄金比.

        二、奇妙的属性

        斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多）,黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。

        随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

       从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）。

        一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟达到了他的目的！

        这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？

       实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。

      

        三、在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

　　将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

        

        四、斐波那契数列的整除性

　　每3个数有且只有一个被2整除，

　　每4个数有且只有一个被3整除，

　　每5个数有且只有一个被5整除，

　　每6个数有且只有一个被8整除，

　　每7个数有且只有一个被13整除，

　　每8个数有且只有一个被21整除，

　　每9个数有且只有一个被34整除，

　　.......

       五、斐波那契数与植物花瓣（自然界中的巧合）

　　3………………………百合和蝴蝶花

　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花

　　8………………………翠雀花

　　13………………………金盏和玫瑰

　　21………………………紫宛

　　34、55、89……………雏菊

　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

       六、相关的数学问题

       1.排列组合

　　有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

    这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

        2.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）

　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对

　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

　　－－－－－－

       依次类推可以列出下表：

　　

经过月数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔对数	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔对数	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
总体对数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

        七、数字谜题

        三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：

        现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

       我们看到，“每段的长度不小于1这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

       在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

liwya

好帖子，要顶！  {:4_107:}

榕叶

不错，支持下  

Yuki1230

哇，好神奇！