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标题: 奥数天天练5-11 [打印本页]

作者: 梦泉森林 时间: 2012-5-11 10:58
标题: 奥数天天练5-11
本帖最后由梦泉森林于 2012-5-18 11:14 编辑

1. 已知

，则

＝

2. 正方形的边长为a，小圆的直径是b(b<a)，S表示正方形面积与大圆面积的差，A是小圆面积，设圆周率为π，则S/A＝________。

3. 一次测验共出5道题，做对一题得1分，已知26人的平均分不少于4.8，最低得3分，至少有3人得4分，则得5分的有________人。

4. 某校运动会在400米球形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分时甲加快速度，在第18分时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙匀速跑完全程所用的时间是_______分.

5.（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法.

（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.

作者: boomy 时间: 2012-5-11 15:30
有空一起交流一下

作者: 茅屋为秋风 时间: 2012-5-11 15:30
呵呵，等着就等着....

作者: 梦泉森林 时间: 2012-5-12 07:39

答案：

1.-131/16

3. 26人的成绩大于26×4.8=124.8，即至少要125分。满分26×5=130分，其中至少一人得3分，至少三人得4分，总分将不大于130-2-1×3=125分。所以只能是1人得3分，3人得4分，其他人都得5分。26-1-3=22（人）。

4.解：设出发时甲速度为a米／分，乙速度为b米／分.第15分甲提高的速度为x米／分，所以第15分后甲的速度是（a＋x）米／分.依题意，到第15分时，乙比甲多跑15（b－a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，所以

（a＋x－b）×3＝15（b－a） ①

接着甲又跑了5分（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以

（a＋x－b）×5＝400 ②

到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米前15分钟是以速度a跑完的，后面的是以速度a+x跑完的，所以

15a+(53/6)(a+x)=10000 ③

解①，②得b－a＝16米/分，x＝96米／分.

代入③a＝384米／分，所以b＝400米／分.

乙是一直以400米／分的速度跑完10000米的，所以乙跑完全程所用的时间是25分.

5.解：（a）在平面上任取一点A.过A作二直线m1与n1.在n1上取两点B，C，在m1上取两点D，E.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过E作n3∥n1，这时，m2、m3、n2、n3交得F、G、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以图14中每条直线都恰与另3条直线相交.

（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.

理由如下：

假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.

我们按直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为

21/2=10.5，因为交点个数应为整数，矛盾。

所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.

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