华杯赛历届真题集：第十二届华杯赛总决赛二试试题答案

毛毛的夏天

第十二届华杯赛总决赛二试试题答案

  　1.设

，其中a、b、c、d都是非零自然数，则a＋b＋c＋d＝___.

　　2.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半园和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是r。用a、r和圆周率π所表示的这个半圆柱的体积的式子是____.

　　3.在8×8的方格网填入不同的自然数，使每个方格里都只有一个数，如果一个方格里的数，大于它所在的行中至少6个方格内的数，并且大于它所在的列中至少6个方格内的数，则称这个方格为“好格”。那么，“好格”最多有___个.

　　4.下图中的三角形都是等边三角形，红色三角形的边长是24.7，蓝色三角形的边长是26。问：绿色三角形的边长是多少？

　　5.若干支球队分成4组，每组至少两队，各组进行循环赛（组内每两队都要比赛一场），共比赛了66场。问：共有多少支球队？（写出所有可能的参赛队数）

　　6.下图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3，…，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止。问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子?（2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？

　　

参考答案与解析：

      1. 解：

　　∴a＋b＋c＋d＝2＋3＋5＋9＝19

　　2. 解：设圆柱的高为h，则半圆柱的总面积为：a＝π ＋πrh＋2rh

　　∴ h＝

　　∴ 这个半圆柱的体积为：

　　3. 解：因为一行有8个数，至多有2个数可以大于同行的6个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的6个数时，这个格才是“好格”，所以一行最多有两个“好格”，8行最多有2×8＝16个“好格”。16个“好格”是可能的，下面给出一个例子，图中标“1”的16个格子是“好格”。

　　4. 解：

　　图中共有15个小三角形，为说明方便，我们给出了编号。这些小三角形中，边长相等的有5对，分别是4和5，7和8，9和10，11和12，14和15（分别填充了相同的颜色）。将6的左边延长（图中用细红线标出），可以看出13与14的边长之差等于1与2的边长之差，为26－24.7＝1.3。

　　设14、15的边长为a，用 表示各三角形边长，则 ＝ ＝a， ＝a＋1.3， ＝2a＋1.3， ＝ ＝3a＋1.3， ＝3a＋2.6， ＝4a＋1.3， ＝4a＋3.9＝5a＋1.3，

　　∴ a＝2.6， ＝9.1

　　从而 ＝24.7－9.1＝15.6

　　5. 解：列出一个组内参赛队数与比赛场数之间的关系，如下表：

　　队数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

　　场数 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

　　因为，55加上3个表中所列的场数不能得到66，所以11个队的组不可能存在；

　　最多为10个队的组：45＋10＋10＋1＝66，45＋15＋3＋3＝66，有两种情况；

　　最多为9个队的组：36＋28＋1＋1＝66，36＋21＋6＋3，36＋10＋10＋10＝66，有三种情况；

　　最多为8个队的组不可能存在；

　　最多为7个队的组：21＋21＋21＋3＝66，21＋15＋15＋15＝66有两种情况；

　　最多为6个或6个以下队的组不可能存在。

　　以上可能的情况，总队数分别为：

　　10＋5＋5＋2＝22，10＋6＋3＋3＝22；

　　9＋8＋2＋2＝21，9＋7＋4＋3＝23，9＋5＋5＋5＝24；

　　7＋7＋7＋3＝24，7＋6＋6＋6＝25

　　即可能的球队数共有21、22、23、24、25五种情况。

　　6.解：第一圈刚好把能被3整除的取走，即第一圈最后取走编号为3000的，共取走1000枚，剩下2000枚，此时1号仍为第一个。再从这2000枚棋子中隔2隔取走1个，第二圈最后取走的是2000枚中的第1998枚，共取走666枚，第1999、2000枚没有取走。再取就是第1号了，取走第1号时1000＋666＋1＝1667枚棋子，还剩下1333枚棋子。

　　将第一圈取走的用绿色表示，将第二圈取走的用红色数字表示：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……

　　可见，每18个一循环，18个数去掉10个，剩下8个。拿走1后，剩下的最小编号是2，从2数第181枚，就是从1数第182枚。182÷8＝22余6，22×18＝396。

　　将366以后的数排列出来，并根据上述分析标上颜色：

　　397，398，399，400，401，402，403，404，405，406，407，408，409，……

　　可见，剩下的第6个数是407，即取走1号棋子后，从剩下的最小号数，第181枚棋子的编号是407。