什么是“等幂和问题”

西门大官人

现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，你会发现它们的和是完全相等的，即：123789＋561945＋642864＝242868＋323787＋761943

　　

　　这当然并不稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是完全相等的，那就是说：

　　

　　1237892＋5619452＋6428642＝2428682＋3237872＋7619432

　　

　　还有更奇妙的呢！我们把每个数的最左边一个数字依次抹掉，发现竟然不能改变数组的性质，即有：23789k＋61945k＋42864k＝42868k＋23787k＋61943k

　　

　　3789k＋1945k＋2864k＝2868k＋3787k＋1943k

　　

　　……

　　

　　9k＋5k＋4k＝8k＋7k＋3k（k＝1，2）

　　

　　这就像“金蝉脱壳”一样，脱掉最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其个性可谓至死不变！

　　

　　现在我们反其道而行之，把原来两组数的数字逐个从右边抹掉，发现经过如此的变动之后，这种“金蝉脱壳”性质居然还能保持下来，即有：

　　

　　12378k＋56194k＋64286k＝24286k＋32378k＋76194k

　　

　　1237k＋5619k＋6428k＝2428k＋3237k＋7619k

　　

　　……

　　

　　1k＋5k＋6k＝2k＋3k＋7k（k＝1，2）

　　

　　你说奇不奇，妙不妙？！

　　

　　其实，上面所说的就是数论中著名的“等幂和问题”，由于等幂和数组往往具有“金蝉脱壳，至死不变”的性质，极具欣赏价值，所以一直吸引着人们去探寻更多的等幂和数组，那么，等幂和数组是怎样构造出来的呢？我们还是从最简单的情形谈起。

　　

　　为了叙述方便，我们把上述等幂和数组记为：

　　

　　＜123789，561945，642864/242868，323787，761943＞（＊）以下类同。

　　

　　上述形式的一位数等幂和数组有：

　　

　　＜1，5，6/2，3，7＞＜2，6，4/4，2，6＞＜3，1，2/2，3，1＞

　　

　　＜7，9，8/8，7，9＞＜8，4，6/6，8，4＞＜9，5，4/8，7，3＞

　　

　　我们注意到等幂和数组（＊）中相同数位上的数字就是上述数组中的数。因此，如果能找到某种规律，我们就能从已知的等幂和数级出发，构造出新的等幂和数组。为此，我们把构成数组（＊）的一位数数组列举出来，并把其中的数从小到大排列，然后把对应的烽边接起来，看看有无什么现象。

　　

　　不难看出，等幂和数组（＊）是上述六个等幂和数组的“对称组合”——仔细看看，左边与右边的箭头是不是相对称？

　　

　　一个很自然的问题是：把已知的若干等幂和数组中和数从小到大排列之后，进行对称组合，能不能形成新的等幂和数组呢？经过大量实验，我们发现结论是肯定的。大家可以试着组合一下。在此，我再向大家推荐另外一等幂和数组：

　　

　　＜193333，648787，854842/276466，482521，937975＞

　　

　　这组数经过上述方法对称组合后，能构造出如下一些等幂和数组：

　　

　　＜158832，644743，893383/237925，486561，972476＞

　　

　　＜257，342，796/134，588，673＞

　　

　　＜3811，7666，8158/4932，5424，9279＞

　　

　　＜25627，46873，94162/18946，63235，87481＞

　　

　　需要指出的是，参与构造新等幂和数组的数组也可以是恒等幂和数组，不过其中三个数应能构成等差数列。例如＜3，5，7/3，5，7＞就能参与构造。综上所述，我们找到了一种构造等幂和数组的方法，从而也就不难理解等幂和数组为什么往往具有“金蝉脱壳”的性质了。

　　

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