计数问题，例题详解

落幕、尘埃ど

　　题目：

　　1、在1到100中，从这100个数中最多能取出多少个数，使得选出的数中任意两个数的和都不能被3整除

　　2、在1-13中任两个数相乘，可以得到许多不同的乘积，这些乘积中共有多少个能被6整除?

　　答案：

　　1.当我们取的数任意两个之和都不能被3整除的时候，显然至多有一个数能被3整除

　　然后剩下的数被3除，余数或为1或为2，显然不能存在两个数除以3的余数分别为1和2。这说明我们取的数要不然余数都是1要不然余数都是2，显然想让所取的数最多，我们取所有除以3余数为1的时候较多

　　综上，取一个3的倍数，和所有除以3余数为1的数即可，此时一共有1+34=35个数

　　2.

　　【理解1，只看乘积的结果】1到13中选取两个数相乘最大的数为156，小于156的自然数中数6的倍数的有26个，去掉其中的6×17,6×19,6×21,6×23，6×24=12×12,6×25

　　故而得到的所有乘积中一共有26-6=20个数

　　【理解2，只看乘积的方式】想看能被6整除的乘积，只需要考虑6的因数2和3

　　所以我们考虑如下情况

　　a)相乘的两个数中有一个是6的倍数，此时有一个数为6或12，剩下的一个数随便取，此时一共有2×12-1=23种

　　b)相乘的两个数一个是2的倍数但不是3的倍数，一个是3的倍数但不是2的倍数

　　那么是2的倍数不是3的倍数的可能是2,4,6,10

　　是3的倍数但不是2的倍数的可能是3,9

　　故而此时有4×2=8种情况

　　综上一共有23+8=31种情况