“3.1.1 方程的根与函数的零点”

lina

一、教学目标:理解函数零点的定义，了解函数零点与方程根的等价关系，理解函数零点存在性定理，能够判断函数零点个数和所在区间。

二、教学重点：方程的根与函数零点的等价关系，函数零点存在性定理。

三、教学难点：探究函数零点存在的条件。

四、教学过程：

（一）新课引入

1. 同学们，通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数这些初等函数的定义、图象和性质，今天，我们开始学习第三章《函数的应用》。本章我们将运用函数的思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，今天的课，我们就是要准备必需要的工具。

2.下面给出三个方程：（1）；（2）；（3）。

这三个方程你能求出它们的根吗？

我们看方程（1），一元二次方程，它有两个实数根-1，。它可以用十字相乘法或求根公式求解；

方程（2）呢，它是一个一元五次方程。次数越高，方程越复杂。数学史上，人们总希望象低次方程那样去求解，但经过长期努力，都无果而终，事实上不可能。1824年，22岁的挪威天才数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802—1829）成功地证明了五次及以上的一般方程没有根式解；

方程（3）呢？有实数根吗？它不是一元二次方程，没有，没有求根公式，也不可能去求解。

因此，（2）（3）用我们现有的方法去求解的路被堵上了。

这就促使我们转换角度来研究方程的根：利用函数的性质、图象去探究方程的根的情形。

首先我们从熟悉的一元二次方程及其对应的二次函数入手。

（二）新授课

例1　（1）解下列一元二次方程：，，。

（2）画出下列函数的图象：，，。

通过表格与图象，从具体的二次函数上升到一般的二次函数，剖析一元二次方程的根与对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系。从而得出结论。

结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象与x轴交点的横坐标。

那么，方程的根，是函数图象与x轴交点的横坐标。对方程，把它称为根；对图象，是与x轴交点的横坐标。对于函数，又该把它称为什么？

揭示课题

板书课题：3.1.1 方程的根与函数的零点

教师活动：我们把使方程f(x)=0成立的实数x称作函数y=f(x)的零点。这是我们本节课的第一个知识点。

板书：1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)，使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）。

教师活动：屏幕显示函数的图象。

学生活动：观察图象，思考作答。

教师活动：我们可以看出：函数有零点-1、3，-1、3具有三重角色：

对方程，它是实数根，使得方程成立；

对函数，它是零点，是函数的自变量，使得函数值为零；

对函数图象，它是图象与x轴交点的横坐标。

教师活动：所以函数有零点，方程就有实数根，函数图象就与x轴有交点。对于函数y=f(x)有零点x0，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实数根x0；从“形”的角度理解，就是函数图象与x轴有交点（x0,0）。即是说，函数有零点，等价于函数图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中知道，方程f(x)=0有实数根和图象与x轴有交点也是等价关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根，图象与x轴有交点的三者的一个统一体。

板书：2.方程的根与函数零点的等价关系

教师活动：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？

任意函数都有零点吗？你能给出一些具体函数吗？（抽学生回答）

怎样判断一个函数是否有零点呢？

学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？

教师活动：下面我们思考四个问题：请大家一边思考一边画出函数的草图。

思考1：函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1函数值在零点两侧如何变化？

思考2：二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？函数值在零点附近如何变化？

思考3：如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列哪些条件下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点？

①f(1)＞0，f(2)＞0   ②f(1)＞0，f(2)<0      ③f(1)<0，f(2)<0     ④f(1)<0，f(2)＞0   

思考4：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？

教师活动：我们看到，当函数值从正到负，从负到正，必然经过零点。即是说函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。函数图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来给予描述呢？

学生活动：通过思考和观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论。

教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，它在区间（a,b）上就存在零点？

学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。

教师活动：其实同学们已经说出了我们今天学习的重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。

板书：3.零点存在性定理

教师活动：屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

教师活动：这个定理给出了判断连续函数y=f(x)在区间（a,b）上有零点的条件。那么，对于一个y=f(x)，仅仅知道f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a,b)上就一定存在零点吗？

为了更加深刻地理解定理，下面请看例题。

例2　判断下列函数是否有零点，如果有，请求出零点个数。同学们请画出函数的简图，加以回答。

（1）        （2）

（3）

教师活动：用图象举出反例，引导学生得出结论。

1.函数y=f(x)在区间[a,b]上必须连续，否则，零点存在性定理不成立；

2.若函数y=f(x)在区间[a,b] 上连续，且f(a)·f(b)<0，只能确定f(x)在区间(a,b) 内有零点，但个数不确定；

3.若函数y=f(x)在区间[a,b] 上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b) 内也可能有零点；

4.在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点。（零点存在唯一性定理）

教师活动：现在我们已经搞清楚了定理的实质是给出了连续函数在[a,b]上存在零点的条件。既然有了“零点存在性定理”这一工具，我们当然就可对那些不能直接求解的方程及其对应的函数根和零点进行探求。不解方程，通过函数图象，也能判断函数零点是否存在，如果存在，个数也容易判定。

下面我们来解决引例中的方程（3），研究它是否有实数根，如果有根，也能求出它所在的区间。本例就是教材上P.88的例1的函数对应的方程。

屏幕显示：例1.求函数的零点的个数。

学生活动：通过求值，列表对函数零点存在性的探究和理解，阐述该问题的解法。然后描点作图和几何画板作图，求出唯一零点所在区间为（2,3），如何找出这个零点呢，那是下节课的内容——用二分法求方程的近似解。

五、课堂练习

1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为（D）

A. (0,0)，(4,0)                  B.0，4                          C. (-4,0)，(0,0)，(4,0)             D.-4，0，4

2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在上存在一个零点，则f(x)的零点个数为（A）

A. 3                                  B.2                               C. 1                                  D.不确定

3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：那么函数在区间[1,6]上的零点至少有（C）个  

A.5个      B.4个           C.3个       D.2个

x	1	2	3	4[	5	6	7
f(x)	23	9	–7	11	–5	–12	–26

4.函数f(x)= –x3–3x+5的零点所在的大致区间为（B）

A.( – 2,0)                         B. (1,2)                             C. (0,1)                           D. (0,0.5)

六、课堂小结：屏幕显示

1. 函数零点的定义

2. 函数零点的等价关系

3. 函数零点的存在性定理：函数零点方程根，形数本是同根生。是否存在端点判，函数连续要记清。

4. 函数零点的求法

①代数法：求方程的实数根；

②几何法：对于不能运用求根公式求解的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质判断函数是否存在零点。

5.数形结合思想，函数与方程思想

七、作业布置

板书：4、作业

1.教材 P．88 练习 2.（改为）用等价转化的思想作出两个函数的图像，求出下列函数的零点或指出零点所在的大致区间。

2.教材 P.92  习题3.1  A组 2

3.补充题：已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值时，y=f(x)分别能满足下列条件：

①有2个零点；②3个零点；③4个零点。