多边形内角和问题的求解技巧

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多边形内角和问题的求解技巧

  一、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。

       例1  一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。

       分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。

       解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。根据题意，得

      

       解得

    ，即每个外角都等于40°。

       所以

，即这个正多边形的边数为9。

二、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。

       例2  已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。

       解法1：设多边形的边数为n，依题意，得

                  

解得n=8，即这个多边形的边数为8。

解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。

所以，多边形的边数        

                 ，即这个多边形的边数为8。

  三、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。解题时要注意这种逆向思维的运用。

例3  一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。

分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。多边形内角和是180°的倍数。由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，2570°÷180°=14…30°，由于去掉的是一个小于180°的角，所以去掉的角度是180°-30°=150°，故去掉这个角之前该多边形的内角和里有14+1=15个180°，也就是说，（n－2）·180°=15×180°，于是n－2=15，n=17

解：2570°÷180°=14…30°

    14+1=15

    15+2=17

所以这个多边形的边数为17           大家可以动动脑筋：如果去掉的是两个内角呢？                 

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四、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。

       例4  如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

图1

       分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。

       解：连接CF。

       ∵∠COE既是△COF的外角，也是△DOE外角

       ∴∠COE=∠1+∠2，

      ∠COE=∠OCF+∠OFC

    ∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC

       ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

       =∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

       =（5－2）×180°

       =540°

烨未央

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怎样在论坛发图片帖
http://www.jzyi.net/thread-488-1-1.html

封云亭

哈哈,有意思~顶顶 ，继续顶顶。继续顶哦  

帅帅男孩

好帖，有才  

dinggela

帮你项项吧  

饭团蚂蚁

好贴！

桃子

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sdhyh

谢谢

sdhyh

好帖