华杯赛历届真题集：第十届华杯赛总决赛一试试题及解答

毛毛的夏天

第十届华杯赛总决赛一试试题及解答

　  一、填空（共3题，每题10分）

　　1．1000米赛跑，已知甲到达终点时，乙离终点50米；乙到达终点时，丙离终点100米。那么甲到达终点时，丙离终点___米。

　　2．三个相邻奇数的积为一个五位数2***3，这三个奇数中最小的是___。

　　3．将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数的差，称为一次操作，如对18和42可连续进行这样的操作。则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6，直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15，这两个五位数是___与___。

　　二、解答题（共3题，每题10分，写出简要解答过程）

　　4.右图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积。

　　5．若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？

　　6．A是山脚，B是山顶，C是山坡上的一点，

。甲、乙同时从山脚出发，到达山顶，再返回山脚，如此往返运动。甲、乙速度之比为6∶5，并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍．出发一段时间后，甲第一次在山顶上看见乙在AC段向上爬；又经过一段时间后，甲第二次在山顶上看见乙在AC段向上爬。问：当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶几次？

  参考答案与解析

　　一、填空

　　1. 145　　2.27　　3. 10005与10020

　　二、解答题

　　4. 红色八边形的面积是1/6

　　5. 至少有25名小朋友6. 甲到过山顶9次

　　1．【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，

　　所以甲跑1000米时，丙跑了950× 900/1000＝855（米），丙距终点1000－855＝145（米）.

　　2．【解】设中间数为n则（n－2）×n×（n＋2）＝2***3，又知（n－2）×（n＋2）＜ ，而 ＝19683，所以，n应大于27，而7×9×1＝63，故最小数应为27，27×29×31＝24273，符合题意，并且是唯一解.

　　3．【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005＋15＝10020，按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为30，再经一次操作两个数都变成了15.

　　4．【解】如图，易知蓝边正方形面积为 ，△ABD面积为 ，△BCD面积为 ，

　　所以△ABC面积为 － ＝ ，可证AE∶EB＝1∶4，

　　黄色三角形面积为△ABC的 ，等于 ，由此可得，所求八边形的面积是：1/6.

　　至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

　　【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的 ，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的 ，为正方形面积的 ，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的1/6 .

　　5．【解】不超过15元可购买商品的方法有：

　　共12种方法，所以如果有25人，必然会有3人购买的商品完全相同.

　　答：至少有25名小朋友.

　　6．【解】不妨设想为在一条直线上的运动，将上山的路程看作下山路程的1.5倍，并设AC＝1，则CB＝2，下山路程＝2，将上山、下山一个全程看作5，重复在一条直线上进行.如下图：

　　B点表示山顶，甲到达山顶所走的路程可以表示为：5×n－2（其中n为整数，表示到达山顶的次数），此时乙所走的路程为（5×n－2）× ，乙处于的位置为（5×n－2）× ÷5＝（5×n－2）÷6的余数，设此余数为k，当0＜k≤1时，乙刚好处于AC段.因为所求为甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬，可以从n＝1开始，依次求出，列表如下：

　　n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　k 3 2 1 0 5 4 3 2 1

　　即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶9次.

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