由圆锥曲线定义引出的漂亮曲线

西门大官人

　　我们知道，在圆锥曲线里，要数椭圆和双曲线两兄弟关系最好，这方面在我们前面的文章已经有所提及。如果我们来重新审视椭圆和双曲线的定义，便有了不一样的想法.

　　

　　椭圆：到两定点的距离之和为一常数的点的轨迹

　　

　　双曲线：到两定点的距离之差为一常数的点的轨迹

　　

　　好事的学夫子学到这的时候，自然而然就想到：加和减都有了，乘和除会是怎样？也就是说，我们给出下面的问题：

　　

　　1：求到两定点的距离之比是一常数的点的轨迹

　　

　　2：求到两定点的距离之积是一常数的点的轨迹

　　

　　我们先看第一个问题

　　

　　1：这个问题我已经在《圆的一个有趣性质——类似于圆锥曲线》一文里给出了解答。

　　

　　如图所示，A、B为定点，M到A和B的距离之比为k，如果k=1，那么M的轨迹为线段AB的中垂线，如果k≠1，那么M的轨迹为一个圆。这个结论运用解析法就很容易解决，具体就请自己试试，或者参考文章《圆的一个有趣性质》。

　　

　　现在我们来看第二个问题，也是今天的精彩之处

　　

　　解：我们借助处理圆锥曲线的办法，设两个定点的坐标为A(-a,0)好B(a,0),设动点M=(x,y),M到A和B的距离之和为b2(为何如此设？后面就会明白)，利用两点之间的距离公式，然后进行一系列化简，将得到下面的方程式：

　　

　　这是一个什么图像的方程？我们以前没有见过，我在这里先告诉你们答案：这个图像的形状取决于k=b/a的比值，当k>1，轨迹是一条封闭曲线；当k<1，轨迹是两条不相连的封闭曲线；当k=1.图像是一条双纽线，就像一个躺着的8字。下面的动画展示了这样的图像，右上角的k值就是b/a的值。这个曲线叫做卡西尼卵形线

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