学好反比例函数的一点建议

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  函数学习的好坏对于学生的继续学习影响深远，特别是现在新的课程标准提出研究性学习，更多地注重学生识图能力的培养，并尝试用数形结合思想和函数思想解决问题。近期随着反比例函数教学的结束，我发现学生在理解函数的性质时颇有困难，更不用说利用函数的相关性质解决问题了。其实课本中函数性质的呈现总是在对其图象的讨论之后，这便要求学生善于读图，并有效地进行形数结合。

一、学生的困惑

  新课标要求教师在教学过程中加强方程、不等式、函数等内容的联系，避免繁琐的运算。因此无论是从课本的编排还是平时作业的安排，都注意到了删繁就简，更多地则是利用函数性质或图象解决问题。但学生仍停留于死记函数的性质，并没有真正地发挥好其图象的作用。其实很多问题只需根据反比例函数中的k的正负正确画出草图，将记忆形象化，解决问题就简单多了。

二、教师的建议

    更要注意对学生如何运用函数图象解决问题的方法指导，将抽象的函数形象化。培养学生由已知到图象再到未知的解题思路。

一元一次不等式有关《一元一次不等式与一元一次方程、一次函数》，提示了三者之间的内在联系，但所涉及的不等式和方程都是学过的，因此脱离一次函数的图象，学生也可以解决问题。但若换成反比例函数，已知函数的值求自变量的值可以转化为分式方程，但若已知函数的范围求自变量的范围转化成的不等式分母中含未知数，学生无法解答，而利用函数的图象就能显而易见。所以比例函数的最后也可以安排一节类似的内容，让教者和学生重视函数图象的利用。

   教师首先要做好示范，并逐步分析其合理性，继而适当变换题中的条件让学生进行模仿，最后再作出相应的评价。有条件的也可以借助PPT动画展示出上述方法的操作过程，或利用白板的着色功能将不同的点区分开来，让学生的理解更直观化，形象化。

3、练习和作业的设计：课本中这类练习的设计较少，建议可以作适当的补充。主要囊括下面3种题型：

(1)比较变量的大小。如上面提到的例2，当然也可以已知变量y的大小关系，去比较相应的x的大小。例如：已知点P (2, y1), Q(3, y2), R(-2, y3)在函数 的图像上,则,y1, y2, y3的大小关系是。                                                此题已知k和x的具体数值，因此也可以直接求出y1, y2, y3的值进行比较，可以引导学生运用一题多解的方法进行检验。但下面这个问题就行不通了。若点M（-2，a）,N(-4,b), P(2,c)三点都在函数 （k>0）的图像上，则a、b、c的大小关系是_________。此题若能想到利用图象求解，结论就显而易见了。

(2)求变量的范围。如：已知反比例函数 ，当0＜x＜6时，y的取值范围是_______；当y＜-6时，x的取值范围是________。学生也可能用端点数值代入法，但此处x取0时函数关系式无意义，更无法求值了。而且有时得出的答案会不全面，如第2问。但利用函数图象法却容易得出答案，尤其是对于这种一题多问的情况，只需画一个函数图象，更是大大地提高了学生的解题速度，增强了学生学好函数的自信心。具体做法是：先根据k的正负画出函数图象，再由已知坐标的范围→相应的图象(原图象中的某个或某些部分)→未知坐标的范围。

(3)综合一次函数图象，求自变量的范围或不等式（组）的解集。

如：一次函数 （ 为常数且 ）的图象如图所示，则使 成立的 取值范围为________．（2010年泰州中考题）

此题因关系式中的k和b都未知，故学生可能无从下手，而若能从图象入手分析，则结论就显而易见了。先在y轴上找到0，作y轴的垂线交函数图象于一点（即为图中显示的（2，0）点），而要求对应的 ,即图象为这点的上面部分，再由这部分图象找其对应的x轴上点的特征，发现它们都在-2的左边，故本题的答案为x＜-2。当然还可以将此题改变点的坐标进行变式练习。

又如：已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=- 的图象交于A、B两点、与y轴交于点P, 且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-4,求:(1)一次函数的解析式;(2)△AOB的面积；(3)利用图像指出，当x为何值时有y1＞y2；当x为何值时有y1＜y2；（4）利用图像指出，当-2＜x＜2 时y1的取值范围。

前面两问通过计算可以得出结果，但学生往往在解决(3)(4)两问时，不知所措，导致答案错误或不全面。显然学生对函数图象的利用率不高，识图能力有待加强，有必要让学生多接触一些相关问题。

当然，函数图象的作用远不止于此。结合反比例函数图象，我们还能得到许多有用的结论。

①点A是反比例函数 图象上的任意一点，且AB垂直x轴，垂足为B，BC垂直于y轴，垂足为C，则S矩形ABOC = |k|(如图所示)

而S△AOB = |k|；

②如图所示，A、B是函数 的图象上关于原点对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，SΔABC=2|k|

③如图所示，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D；则S四边形ABCD=2|k2|，与k1无关。

注重图像法的运用可以将抽象的函数具体化，将很明显地提高学生学习与函数性质有关的抽象问题的效率，使函数不再是令学生头疼的难题，也让学生对学好后续的二次函数更有信心。我们将在今后的教学中不断渗透函数图象的重要性，努力提高学生利用函数图象解题的意识，优化解决有关函数问题的方法，让学生对学好函数更有信心！

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我是你的忠实FAN

飞飞

数形结合很重要。。。

swer

很有用哦！收藏了！

小小

谢谢分享唷

FMA

谢谢老师 真的很有用

欣怡

反比例函数是学生最怕的，其实学通了就很简单

龙龙他妈

收藏，好好学习，谢谢分享！

学习多胜

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