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英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877——1947)曾经发现一个有趣的现象,就是有这样一些数,他们都是三位数,而且他们等于各位数字的三次幂之和,例如153=13+53+33
,371=33+73+13,370=33+73+03,407=43+03+73这种巧合真的是很奇妙。
有人在读了哈代这个有趣的发现后,又在有多位的数字中寻找符合这个规律的数,最后也真的找到这样一些数字。人们把这种其值等于各位数字的N次幂之和的N
位数,称为N位N次幂回归数。
例如,数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数1634=14+64+34+44,54748=55+45+75+45+85
,548834=56+46+86+86+36+46,人们自然会问,什么样的自然数N有回归数?
这样的N是有限个,还是无穷多个?对于已经给定的N,如果有回归数,那么有多少个回归数?我们来看看这种回归数有什么规律呢?
1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(AnthonyDiluna)巧妙地证明了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An
是这样的回归数,即:
An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann(其中0<=a1,a2,……an<=9)
从而10n-1<=An<=n9n即n必须满足n9n>10n-1也就是(10/9)n<10n⑴
随着自然数N的不断增大,,(10/9)n值的增加越来越快,很快就会使得⑴式不成立,因此,满足⑴的n不能无限增大,即n
只能取有限多个.进一步的计算表明:
(10/9)60=556.4798...<10*60=600(10/9)61=618.3109...>10*61=610
对于n>=61,便有(10/9)n>10n
由此可知,使(1)式成立的自然数
n<=60,故这种回归数最多是60位数,迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:
一位回归数(夜百荷数):1,2,3,4,5,6,7,8,9
二位回归数:不存在(菊花数)(20,4,16,37,58,89,145,42)
三位回归数(水仙花数)153,370,371,407
四位回归数(桃花数)1634,8208,9474
五位回归数(梅花数)54748,92727,93084
六位回归数(雪花数)548834
七位回归数(玫瑰数)1741725,4210818,9800817,9926315
八位回归数(牡丹数)24696050,24696051,88593477
九位回归数()146511208,472335975,534494836,912985153
十位回归数()4679307774
十一位回归数82693916578447086356799420459191432164049651
42678290603400283942253216404965049388550606
十二位回归数无解
十三位回归数0564240140138(只有广义解一组)
十四位回归数28116440335967
十五位回归数无解
十六位回归数43382817693913714338281769391370
十七位回归数356415942089641322189714258761207535875699062250035
233411150132317(广义解)
十八位回归数无解
十九位回归数44981287911646248694929273885928088826
32895829844431870321517841543307505039
二十位回归数1454339831148453271363105425988599693916
二十一位回归数128468643043731391252449177399146038697307
二十二位回归数无解
三十二位回归数17333509997782249308725103962772
五十六位回归数02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
但是此后对于哪一个自然数n(<=60)还有回归数?对于已经给定的n,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?
12、13、15、18、22
3、现基本找齐60以内的广义花朵数,已找到的最大的广义花朵数为
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
位数:02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
三、循环圈花朵数,我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数(周期)为1次的循环圈花
朵数。那么,一般地循环次数为M的就叫M次循环圈花朵数。1本身也是一个特殊的1次循环圈花朵
数。当N是大于0的整数时:
1、对于任意N位数,N次幂来说,循环圈花朵数一定存在,至少有一个圈存在,如N等于2。
2、对于任意N位数,N次幂来说,最小的圈循环次数(周期)(1本身也是一个特殊的循环圈花朵数,除开1这个数之外)不一定是1,也不一定是2,对于不同的N来说不一样,如N=12时,最小的圈是5,它们是:
785119716404(5次),
381286065015,
142281334933,
351184701607,
098840282759,
N=18时,最小的圈是2,它们是:187864919457180831,375609204308055082,
3、对于任意N位数,N次幂来说,最大的圈相对N位数来说是很小的,但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
4、我们将循环圈花朵数又叫圈内数或圈上数,非循环圈花朵数又叫圈外数。1的N次幂也等于1,因此,1是循环次数(周期)为1次的循环圈花朵数,也是圈内数。对于任意N位数,N次幂来说,可将N位数分为圈内数和圈外数,所有的圈外数,经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。
四、一般地广义来讲,对于任意一个数(可以在有理数范围,且不受位数限制),对正整数N(可也是0)次幂运算来说。
1、至少存在一个圈,如N=0,只有一个圈,圈上数为1,其它所有的数,经过一次运算后,即进入圈。
2、对于一定的N来说,圈子的个数是定值。
3、对于一定的N来说,最小的圈除1之外,最小的圈循环次数(周期)不一定是1,也不一定是2,对于不同的N不一样,如N=12时,最小的圈是5。
4、对于一定的N来说,最大的圈相对N位数来说是很小的,但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
5、对于N次幂来说,可将所有的有理数分为圈内数和圈外数,所有的圈外数,经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。 |