几何题一道

zhangkehua

已知三角形ABC，AB=AC角A=100°，D是AC上一点且AD+BD=BC,求证BD为∠ABC的平分线

yiyiyi

这个题实际上可以这么做，过B做BD垂直AC交CA延长线于D
BD=AB*sin80不变     AD=AB*sin10不变据勾股定理
BE^2=BD*BD^2+(AD+AE)^2
因为BD=AB*sin80 AD=AB*sin10不变所以BE随着AE增大而增大，减小而减小，即单调
也就是说BE+AE值唯一的
下面取角平分线BE则有
在BC上截取BM＝BA，BN＝BE，
∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝20度，
又∵BA＝BM， BE＝BE，
∴△ABE≌△MBE（SAS） ∴AE＝ME， ∠BME＝∠A＝100度， ∴∠EMN＝180-∠BME＝180-100＝80度
又∵∠A＝100度，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝40度，
在△BNE中， ∵∠CBE＝20度，BN＝BE，
∴∠BEN＝∠BNE＝80度＝∠EMN， ∴EM＝EN， ∴∠ENC＝180-∠BNE＝180-100＝80度
∴∠NEC＝180-∠ENC-∠C＝180-100-40＝40度＝∠C， ∴EN＝NC，
∴等量代换可得：NC＝EN＝EM＝AE， ∴BC＝BN+NC＝BE+AE．
BC=BE+AE   BC是定值，那么只有一个，所以只有BE是角平分线时有BC=AE+BE
此时 角ABE=角CBE。