奥数天天练6-14

梦泉森林

数的整除

1.能被7整除的各个数字均不相同的最小的十位数是多少？

2.如果A=810×811×……×2011÷810^n是一个正整数，n最大取值是多少？

梦泉森林

答案：
1.1023456798
2.810=2×3^4×5.
810×811×……×2011中能被3整除的数一共有：(2010-810)÷3+1=401 个
能被3^2整除的一共有：(2007-810)÷9+1=134 个
能被3^3整除的一共有：(1998-810)÷27+1=45 个
能被3^4整除的一共有：810+(m-1)×81<2011，m=15 个
能被3^5整除的一共有：810+(m-1)×243<2011，m=5 个
能被3^6整除的一共有：810+(m-1)×729<2011，m=2 个
能被3^7整除的一共有：810+(m-1)×2187<2011，m=1 个
401+134+45+15+5+2+1=603
所以810×811×……×2011能表示成3^603乘以一个偶数。
603÷4=150……3，且810×811×……×2011中能被2整除的和能被5整除的个数显然大于150.所以n最大值为150.