华杯赛历届真题集：第六届华杯赛复赛试题及答案

毛毛的夏天

第六届华杯赛复赛试题及答案  

    1．计算：(1＋1/2)×(1＋1/4 )×(1＋1/6)×…×(1＋1/10 )×(1－1/3 )×(1－1/5 )×…(1＋1/9 )＝？

　　2．—套绞盘和二组滑轮形成一个提升机构，如图所示：其中盘A直径为10厘米，B直径为40厘米，C直径为20厘米。问：A顺时针方向转动—周时，重物上升多少厘米? (取π＝3.14)

　　3．计算：（1995.5－1993.5）÷1998×1999 ÷ (得数保留三位小数)

　　4．用一平面去截一个立方体，得到一个矩形的截口，而把立方体截成两个部分。问：这两个部分各是几个面围成的?

　　5．右图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有—直径为6厘米的卷轴。已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长?

　　6．李师傅加工—批零件。如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5天完或。这批零件共有多少个?

　　7．某商店某一个月内销售A，B，C，D四种商品，情况如下表所示：

　　已知：商品销售的毛利率＝ ×100％。今知A，B，C，D四种商品的毛利率依次为9％，12％，20％，30％。问：本月四种商品的毛利率是多少？

　　8．问：

与 1/10相比较，哪个更大，为什么？

　　9． 设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲自A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。出发 时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又 步行，三人仍按各自原有方向继续前进。问：三人之中谁最先到达自己的目的地?谁最后到达目的地?

　　10．在某市举行的一 次乒乓球邀请赛上，有三名专业选手与三名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下方法记分。开赛前每位 迭手各有10分作为底分，每赛—场，胜者加分，负者扣分。每胜专业选手一场的加2分，每胜业余选手—场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一 场扣l分。现问：一位业余选手至少要胜几场，才能确保他的得分比专业选手为高?

　　11．下面这样的四个图（a）（b）（c）（d）我们都称作平面图。

　　(1)数—数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填入下表：(其中a已填好)

　　(2)观察上表，推断—个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系。

　　(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边。

　　12．某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种，快车车速是慢年车速的1.2倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站，每站停留时间都是3分钟。当某次慢车发出40分钟后，快车从同—始发站开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共用多少时间?

　　13．下面是一个由数字组成的三角形，试研究它的组成规律，从而确定其中的x的数值。

　　14．有5堆苹果，较小的3堆平均有l8个苹果，较大的2堆苹果数之差为5个。又，较大的3堆平均有26个苹果，较小的2堆苹果数之差为7个。最大堆与最小堆平均有22个苹果。问：每堆各有多少苹果?

　　15．请在下面的方框内填入加号或减号，以使得下面的关系式成立：

　　0＜1□ □ □ □……□ ＜

　　16． 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。已知甲班1人捐6册，有2人各捐7册，其余人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余人各捐10册；丙班 有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9 册。已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册。各班捐书总数在400册与550册之间。问：每班各有多少人?

　　17． 1994年我国粮食总产量达到4500亿千克，年人均375千克。据估测，我国现有耕地1.39 亿公顷，其中约有—半为山地、丘陵。平原地区平均产量已超过4000千克/公顷，若按现有的潜力到2030年使平原地区产量增产七成，并使山地、丘陵地区 产量增加二成是很有把握的。同时在本世纪末把我国人口总数控制在12.7亿以内，且在下一世纪保持人口自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过l 0％。请问：到2030年我国粮食能超过年人均400千克吗?试简要说明理由。

参考答案

　　1.【解】由于(1＋ )×(1－ )＝ ＝1

　　(1＋ )×(1－ )＝ ＝1

　　……

　　(1＋ )×(1－ )＝ ＝1

　　所以原式＝1＋ ＝1.1

　　2.【解】A顺时针转一周时，c顺时针转 周，同轴的B也顺时针转 周，从而绳索被拉动的距离等于B的半个圆周长即π×20＝62.8厘米．这时的重物应该上升 ×62.8厘米,即31.4厘米.

　　3.【解】原式＝2÷1998×(1998＋1＋ )×1999

　　＝4002.001

　　4.【解】有四种可能:①两个6面体；②一个5面体及一个7面体；③两个5面体；④一个5面体及一个6面体

　　5.【解】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似地看作一个长方形，它的长度就等于面积除以宽.这里宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积.因此

　　纸的长度≈7143.5(厘米)

　　因此，这卷纸展开后大约有71.4米长

　　6.【解】每天做60个，到原定日期多做：60×5＝300(个)，

　　每天做50个，到原定日期少做：50×8＝400(个)，

　　因此原定天数是：(400＋300)÷(60－50)＝70(天)，

　　这批零件共有：50×70＋400＝3900(个)

　　7.【解】 ×100％＝9．91329％

　　答：约为9.91％

　　8.【解】A＞1/10 。

　　9.【解】设甲、丙在C点相遇,这时乙到达D,又设甲、乙在E处相遇。

　　因为甲、乙步行的速度相同，所以AC＝BD，丙步行的长度是AC，乙步行的长度是BE，甲步行的长度是AC＋BE，由于BE＞BD＝AC，所以丙最先到达目的地，甲最后到达目的地。

　　【注】本题骑车速度与步行速度的比并不重要，不必考虑

　　10.【解】设A、B、C为业余选手，D、E、F为专业选手如果A胜4场，这时有两种情况：

　　(1)A胜B、C及两名专业选手这时4其增加1＋1＋2＋2－1＝5分。负于A的专业选手至多增加1＋1－2＋2＋2＝4分。设B,C中B胜C，则C也至多增加2＋2＋2－1－1＝4分．所以A必定进入前三名。

　　(2)A胜三名专业选手及一名业余选手，这时A共增加2＋2＋2＋1－1＝6分，每名专业选手至多增加2＋2－2＋1＋1＝4分，所以A必定进入前三名

　　如果A胜3场，A不一定能进入前三名。上图用A→B表示A胜B，等等．而A、B、C、D都胜E及F这时A增加2＋2＋1－1－1＝3分，B增加2＋2＋2－1－l＝4分，C增加2＋2＋1＋1＋1＝5分，D增加2＋2＋1＋1－2＝4分，所以A只能是第四名。因此业余选手至少胜4场，才能保证进入前三名。

　　注：本题原来的标准解答有错，误以为胜3场就够了。

11.【解】①填表

　　②由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：

　　4＋3－6＝1

　　8＋5－12＝1

　　6＋4－9＝1

　　10＋6－15＝1

　　所以，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：

　　顶点数＋区域数－边数＝1。

　　③由上面所给的关系，可知所求平面图的边数：边数＝顶点数＋区域数－1＝999＋999－1＝1997

　　12.【解】设起点到终点路程为S ，慢车车速为1，慢车行驶的时间为S÷1＝S(分)，用于停靠的时间为30分，由题意可得

　　S＋30＝40＋ ＋3，于是得S＝78

　　可见快车从起点到终点共需78＋30－40＝68{分钟)

　　13.【解】第二行起，每行都包含一个数字0，而且一行在左边，一行在右边，确切地说，偶数行的第一个数字为0，奇数行(第一行除外)的最后一个数字为0．

　　偶数行，每一个数等于它左边的数加上它左上方的数。奇数行，每一个数等于它右边的数加上它右上方的数。这样第8行应当是0，61，122，178，…，所以x＝178。

　　14.【解】最大堆与最小堆共22×2＝44个苹果较大的2堆与较小的2堆共44×2＋7－5＝90个苹果所以中间的一堆有：(18×3＋26×3－90)÷2＝21

　　个苹果较大的2堆有：26×3－21＝57

　　个苹果，最大的一堆有：(57＋5)÷2＝31

　　个苹果，次大的2堆有：57－31＝26

　　个苹果较小的2堆有：18×3－21＝33

　　个苹果次小的一堆有：(33＋7)÷2＝20

　　个苹果最小的一堆有：20－7＝13个苹果

　　15.【解】注意到

　　1－ ＝0，　

　　，　 ，　

　　所以，如果能在下面的方框中填入加减号，使不等式0＜ □ 口……口 ＜ 　成立，

　　则原来的问题就一定有肯定的答案，再注意

　　，　　 ，

　　，　　 ，　　

　　因此，只要在下面的方框中填入加减号，使不等式

　　0＜ 口 口 口 口 ＜ 成立．

　　令X＝ － ＋ － ＋ ，则

　　X＝（ － ）＋（ － ）＋ ＞0

　　而且，X＝ －（ － ）－（ － ）＜ ＜

　　将以上的算式倒推回去，具体写下来，就得

　　0＜1－ ＜

　　16.【解】设20＋11m，30＋10n，50＋9k为甲、乙、丙三班捐书总数，则

　　(20＋11m)＝(30＋10n)＋28

　　(30＋1On)＝(50＋9k)＋101

　　即11m＝10n＋38，10n＝9k＋121，从而11m＝9k＋159，

　　已知 550≥20＋11m，50＋9k≥400，

　　所以530≥11m＝9k＋159≥350＋159＝509，

　　从而49＞m＞47，m＝48，于是，n＝49．k＝41

　　甲、乙、丙班人数依次为51(＝48十3)，53(＝49＋4)，49(＝41＋8)人

　　17.【解】不妨设平原地区耕地为0.69亿公顷到2030年产量为 4000×0.69×1.7＝4692(亿千克)

　　山地、丘陵地区的产量为 (4500－4000×0.69)×1.2＝2088(亿千克)

　　粮食总产量为 4692＋2088＝6780(亿千克)

　　而人口不超过 12.7×1.13＝16.9(亿)

　　按年人均400千克计算，共需 400×16.9＝6760(亿千克)

　　所以，完全可以自给自足。

帝王

这贴写得好啊  

汇棋

强烈支持资源好帖，谢谢，辛苦了