华杯赛历届真题集：第九届华杯赛总决赛一试试题及解答

毛毛的夏天

第九届华杯赛总决赛一试试题及解答

    1. 计算: 2.00

×2.

0

（结果用最简分数表示）

　　2.水池装有一个水管和若干每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水．若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水，24小时可注满水池．现在用8个注水管注水，那么需要多少小时注满水池？

　　3.在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o。问：

　　(1)上午9：20能否恰好回到原处？

　　(2)上午9：10能否恰好回到原处？

　　如果能，请说明理由，并设计一条路线．如果不能，请说明理由。

　　4. 1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少？

　　5. 老王和老张各有5角和8角的邮票若干张，没有其它面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多．老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额．用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资．问他们各有8角邮票多少张？

　　6. 在下面一列数中，从第二个数开始，每个数都比它前面相邻的数大7，8，15，22，29，36，43，……。

　　它们前n-1个数相乘的积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的末尾0的个数少3个，求n的最小值．

参考答案及解析：

　1．答：2.00 ×2.  0

　　原式＝

　　2.解:设单开水管需x小时将满池水排完,单开一个注水管需要y小时,则可知排水管每小时排整池水的 ,

　　注水管每小时注水 ,可知有

　　即为 ……………………………①

　　同时由2小时用9个注水管注满水知

　　即为 ……………………………②

　　将①-②得 可知

　　代入①中得

　　所以用8个注水管注水每小时注水

　　故需用时 (小时)

　　答:用8个注水管注水,需要72小时注满水池.

　　3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我们可以设计如下的路线:我们若没定每走5分钟都按顺时针方向(或逆时针方向)折转90°,则可知每过20分钟回到原处,而到9:20恰好过了80分钟,故可知9:20恰好第4次回原处.

　　(2)上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟,而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90°,还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地.

　　4.解:我们可以先去考虑到100的所有自然数中与100不可质的数,因为100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的数都与100不互质.其中含因子2的有2,4,6,8…，100(即为50个数),含因子5的有5，10，15，20…，100但其中10，20，30，…100已经包括在上面内,故与100不互质的1到100之内的数为:2，4，6，…100，5，15，25，…95。

　　这些数的和为：2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=

　　而1到100的自然而然数和为：

　　所以与100互质的自然数之和为：5050-3050=2000。

　　答:1到100所有自然数中与100互质各数之和为2000.

　　5.解:设老王有8角邮票x张,老张有8角邮票y张,可知老王的5角邮票也有x张,故该总张数为2x张,则老张的5角邮票为 张.

　　由老张5角邮票金额等于8角邮票金额知

　　即为 ……………………………①

　　又由他们可共同支付110元到160元之间的邮资知

　　……………………………②

　　将①代入②中得

　　同时又由 为整数知x为13的整数

　　结合上述两个条件知 ,又由①知

　　答:老王共有52张8角邮票,老张有40张8角邮票。

　　6.解:观察这列数可知每个数除以7余数为1,由题意知若使n最小,则第n个数必须含有3个5的因子,这样由5的因子数少于2因子数知前n个相乘方会比前n-1个多3个0。所以第n个数可写成 的形式,即为 (k为自然数)且125k除以7余数为1,这样最小的k值为6。即第n个数为 .此时再根据第n个数又可表示为 知可得

　　答:n的最小值为107。

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