华杯赛历届真题集：第十届华杯赛决赛试题及解答

毛毛的夏天

第十届华杯赛决赛试题及解答

　  一、填空（每题10分，共80分）

　　1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：

公元历	2005	1985	1910
希伯莱历		5746
伊斯兰历			1332
印度历	1927

　　2．计算：

　　① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = (　);　　②

= (　)。

　　3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（　）分钟。（精确到分钟）

　　4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=(　)。

　　5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（　）。

　　6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（　）平方米，体积是（　）立方米。

　　7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表：

　　0 3 8 15 …

　　1 2 7 14 …

　　4 5 6 13 …

　　9 10 11 12 …

　　… … … … …

　　规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（　）行和第（　）列。

　　8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（　）平方厘米。

　　图2

　　二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）

　　9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？

　　10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，

　　①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；

　　②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。

　　11．一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。

　　12．A码头在B码头的上游，“2005号”遥控舰模从A码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水流的速度是每分钟40米。出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离。

　　三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）

　　13．已知等式

其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值。

　　14．两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图4）。如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：

　　（1）L的最大值是多少？

　　（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？

参考答案及解析

　　一、填空

　　1. 145　　2.27　　3. 10005与10020

　　二、解答题

　　4. 红色八边形的面积是

　　5. 至少有25名小朋友6. 甲到过山顶9次

　　1．【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，

　　所以甲跑1000米时，丙跑了950× ＝855（米），丙距终点1000－855＝145（米）.

　　2．【解】设中间数为n则（n－2）×n×（n＋2）＝2***3，又知（n－2）×（n＋2）＜ ，而 ＝19683，所以，n应大于27，而7×9×1＝63，故最小数应为27，27×29×31＝24273，符合题意，并且是唯一解.

　　3．【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005＋15＝10020，按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为30，再经一次操作两个数都变成了15.

　　4．【解】如图，易知蓝边正方形面积为 ，△ABD面积为 ，△BCD面积为 ，

　　所以△ABC面积为 － ＝ ，可证AE∶EB＝1∶4，

　　黄色三角形面积为△ABC的 ，等于 ，由此可得，所求八边形的面积是： .

　　至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

　　【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的 ，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的 ，为正方形面积的 ，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的

.

　　5．【解】不超过15元可购买商品的方法有：

	3元件数	5元件数	总钱数
1	1		3
2	2		6
3	3		9
4	4		12
5	5		15
6		1	5
7		2	10
8		3	15
9	1	1	8
10	1	2	13
11	2	1	11
12	3	1	14

　　共12种方法，所以如果有25人，必然会有3人购买的商品完全相同.

　　答：至少有25名小朋友.

　　6．【解】不妨设想为在一条直线上的运动，将上山的路程看作下山路程的1.5倍，并设AC＝1，则CB＝2，下山路程＝2，将上山、下山一个全程看作5，重复在一条直线上进行.如下图：

　　B点表示山顶，甲到达山顶所走的路程可以表示为：5×n－2（其中n为整数，表示到达山顶的次数），此时乙所走的路程为（5×n－2）× ，乙处于的位置为（5×n－2）× ÷5＝（5×n－2）÷6的余数，设此余数为k，当0＜k≤1时，乙刚好处于AC段.因为所求为甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬，可以从n＝1开始，依次求出，列表如下：

　　n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　k 3 2 1 0 5 4 3 2 1

　　即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶9次.

zhuyumu

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帝王

小生对楼主之仰慕如滔滔江水连绵不绝,海枯石烂,天崩地裂,永不变心.  

天涯客

非常感谢楼主，楼主万岁万岁万万岁！  

zhuyumu

赚点分不容易啊

xmxm76

拿分来了呵呵，楼下继续！

mjh7198

好啊，，不错、、、、  

sam20001005

{:4_117:}答案不对嘛

汇棋

谢谢分享！