用折纸法解决高中数学的两道题

lina

摘　要：“折纸法”学习数学的简便易行，使抽象变为直观简洁，并能引申出高深的数学思想，并且能引导学生积极有趣地学习数学，以至于其它学科研究。

关键词：折纸法；椭圆；双曲线；抛物线

一切自然学科的理论知识均来自实践，而最终要去指导实践，让学生动手学习数学养成习惯，最终就可以自如地去应用数学于实践。大的建筑工程，作战指挥无不还要借助模具去应用数学来完成。以此说来，“折纸法”教抽象之数学，就是相当重要的了。

下面结合高中数学列举几例，来阐述我粗浅的见解。

我们将一张纸片折叠一次，纸片上就会留下一条折痕，所得折痕是一条直线．如果在纸上折出很多很多折痕直线以后，纸上能显现出一条曲线的轮廓，使得该曲线和每一条折痕直线都相切，我们就说是“折出了”这条曲线．我们把一条曲线的所有切线组成的集合，叫做该曲线的切线族．因此，我们所说的“折出一条曲线”实际上就是指折出该曲线的切线族．“折纸法”是数学教学中的一种方法，也是其它学科教学中的一种方法，在数学教学中显得尤为重要，培养理论和实际的联系能力，培养学生动脑和动手能力。

一、用纸折椭圆

如图3，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（高中数学选修2-1第49页、选修1-1第42页A组第7题）

解：如图，连接QA

另解：（折纸法）

取一个圆纸片，圆心为O．在圆内取定一点A．将圆片的边缘向圆内折叠，使圆片的边缘通过定点A，或者说使圆片边缘上的一点P与定点A重合．每取一点P折一次就得一折痕(如图1)．当点P在圆周上取得足够多且密时，所得的众多折痕就显现出一个椭圆的轮廓．它和所有的折痕直线都相切(见图2)．

这个椭圆以圆心O和定点A为它的两个焦点，已知圆的半径是它的长轴长．用上述方法折得的所有折痕，恰好组成该椭圆的切线族．

二、用纸折双曲线

如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（高中数学选修2-1第62页、选修1-1第54页A组第5题）

解：如图4，连接QA

图4

另解：（折纸法）

在纸上画一个圆(圆心为O)，在圆外取一定点A，把点A分别折到圆周的不同点上，每折一次即在纸上得一折痕．当折叠的次数足够多．折痕足够密时，纸上就显现出一个双曲线的轮廓(见图5)．该双曲线以圆心O和定点A为其焦点，其头轴长为已知圆O的半径．该双曲线与每一条折痕都相切．所有的折痕直线组成了双曲线的切线族．

三、用纸折抛物线

取一矩形纸片，一个长边的中点为F，对边长a．将点F分别折到对边a的不同点上，每折一次就得到一条折痕，当折的次数足够多，折痕足够密时，纸上就显现出一条抛物线的轮廓(见图6)，该抛物线以定点A为其焦点，定直线a为其准线．它与每一条折痕都相切．所有的折痕直线组成该抛物线的切线族．

“折纸法”学数学可以启迪学生的智慧，激发学生的学习兴趣，使他们在学习抽象的数学中得到一种学习的乐趣