名题之化圆为方问题

月之影

　　化圆为方问题(problemofquadratureofcircle)是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一，即求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。其难度在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺(没有刻度，只能作直线的尺)和圆规。最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入狱，在狱中潜心研究化圆为方问题，可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰、希皮亚斯等人。

　　标尺作图问题曾吸引许多人研究，但无一成功。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。1882年法国数学家林德曼(1852-1939)证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此标尺不可作。

　　二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰(公元前430)为解决此问题而提出的「穷竭法」，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形(或正6边形)，然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、…边形，他相信「最后」的正多边形必与圆周重合，这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。

张亮

谢谢楼主普及科学知识啊。受教了