角谷猜想

西门大官人

这里向大家介绍一个近几年来，始发于欧美、风靡全球的趣味数学游戏——“角谷猜想”问题。

　　

　　“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它“冰雹猜想”更形象，也更恰当。

　　

　　为什么叫它“冰雹猜想”呢？顾名思义，这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。

　　

　　大家知道，小水滴在高空中受到上升气流的推动，在云层中忽上忽下，越积越大并形成冰，最后突然落下来，变成冰雹。

　　

　　“冰雹猜想”就有这样的意思，它算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下来，变成一个数字：“1”．

　　

　　这个数学猜想的通俗说法是这样的：任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，即将它变成。对任意的一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤后，最后结果必然是最小的自然数1。

　　

　　对这个猜想，你不妨任意挑几个数来试一试：

　　

　　若N=9，则9×3＋1=28，28÷2=14，14÷2=7，

　　

　　7×3＋1=22，22÷2=11，11×3＋1=34，34÷2=17，17×3＋1＝52，52÷2＝26，

　　

　　26÷2＝13，13×3＋1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

　　

　　你看，经过19个回合(这叫“路径长度”)，最后变成了“1”。

　　

　　若

　　

　　N=120，则120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3＋1=46，46÷2=23，23×3＋1=70，70÷2=35，35×3＋1=106，106÷2=53，53×3＋1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

　　

　　你看，经过20个回合，最后也仍然变成了“1”。

　　

　　有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1。例如：N=65536=216

　　

　　则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。

　　

　　你看，它的路径长度为16，比9的还要小些。

　　

　　我们说“1”是变化的最终结果，其实不过是一种方便的说法。严格地讲，应当是它最后进入了“

　　

　　1→4→2→1”的循环圈。这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776。

　　

　　由于数学这门科学的特点，尽管有了如此众多的实例，甚至再试验下去，达到更大的数目，但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明，因此还只能称它为一个猜想。

　　

　　（在我们所查阅的资料中，尚未见到对这一猜想的完整证明。）可想而知，要证明它或推翻它，都是很不容易的，要设法说出它的实质，也似乎是难上加难。

　　

　　不仅如此，对于“角谷猜想”，人们在研究过程中或作出了改动，或进行了推广，得出的结果同样富有奇趣。比如，对于“角谷猜想”若作如下更动：

　　

　　任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以2；若它是奇数，则将它乘以3再减1．……如此下去，经过有限次步骤运算后，它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：

　　

　　①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；

　　

　　③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．

　　

　　亲爱的读者，你能对它们作出证明吗？更进一步，你能作出新的发现，为数学这个百花园增添新的奇光异彩吗？（