神奇的回归数猜想

西门大官人

英国大数学家哈代（G.H.Hardy，1877——1947）曾经发现一个有趣的现象，就是有这样一些数，他们都是三位数，而且他们等于各位数字的三次幂之和，例如153=13+53+33

　　

　　，371=33+73+13，370=33+73+03，407=43+03+73这种巧合真的是很奇妙。

　　

　　有人在读了哈代这个有趣的发现后，又在有多位的数字中寻找符合这个规律的数，最后也真的找到这样一些数字。人们把这种其值等于各位数字的N次幂之和的N

　　

　　位数，称为N位N次幂回归数。

　　

　　例如，数字四（五，六）次幂之和的四（五，六）位数1634=14+64+34+44，54748=55+45+75+45+85

　　

　　，548834=56+46+86+86+36+46，人们自然会问，什么样的自然数N有回归数?

　　

　　这样的N是有限个，还是无穷多个?对于已经给定的N，如果有回归数，那么有多少个回归数?我们来看看这种回归数有什么规律呢？

　　

　　1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那（AnthonyDiluna）巧妙地证明了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An

　　

　　是这样的回归数，即：

　　

　　An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann（其中0<=a1，a2，……an<=9）

　　

　　从而10n-1<=An<=n9n即n必须满足n9n>10n-1也就是(10/9)n<10n⑴

　　

　　随着自然数N的不断增大,，(10/9)n值的增加越来越快,很快就会使得⑴式不成立,因此,满足⑴的n不能无限增大,即n

　　

　　只能取有限多个.进一步的计算表明：

　　

　　(10/9)60=556.4798...<10*60=600(10/9)61=618.3109...>10*61=610

　　

　　对于n>=61，便有(10/9)n>10n

　　

　　由此可知，使（1）式成立的自然数

　　

　　n<=60，故这种回归数最多是60位数，迪拉那说，他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数：

　　

　　一位回归数（夜百荷数）:1,2,3,4,5,6,7,8,9

　　

　　二位回归数:不存在(菊花数)（20，4，16，37，58，89，145，42）

　　

　　三位回归数(水仙花数)153，370，371，407

　　

　　四位回归数(桃花数)1634，8208，9474

　　

　　五位回归数(梅花数)54748，92727，93084

　　

　　六位回归数（雪花数）548834

　　

　　七位回归数（玫瑰数）1741725，4210818，9800817，9926315

　　

　　八位回归数（牡丹数）24696050，24696051，88593477

　　

　　九位回归数（）146511208，472335975，534494836，912985153

　　

　　十位回归数（）4679307774

　　

　　十一位回归数82693916578447086356799420459191432164049651

　　

　　42678290603400283942253216404965049388550606

　　

　　十二位回归数无解

　　

　　十三位回归数0564240140138(只有广义解一组)

　　

　　十四位回归数28116440335967

　　

　　十五位回归数无解

　　

　　十六位回归数43382817693913714338281769391370

　　

　　十七位回归数356415942089641322189714258761207535875699062250035

　　

　　233411150132317(广义解)

　　

　　十八位回归数无解

　　

　　十九位回归数44981287911646248694929273885928088826

　　

　　32895829844431870321517841543307505039

　　

　　二十位回归数1454339831148453271363105425988599693916

　　

　　二十一位回归数128468643043731391252449177399146038697307

　　

　　二十二位回归数无解

　　

　　三十二位回归数17333509997782249308725103962772

　　

　　五十六位回归数02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

　　

　　但是此后对于哪一个自然数n(<=60)还有回归数?对于已经给定的n，能有多少个回归数?最大的回归数是多少?

　　

　　12、13、15、18、22

　　

　　3、现基本找齐60以内的广义花朵数，已找到的最大的广义花朵数为

　　

　　02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

　　

　　位数：02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

　　

　　三、循环圈花朵数，我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数（周期）为1次的循环圈花

　　

　　朵数。那么，一般地循环次数为M的就叫M次循环圈花朵数。1本身也是一个特殊的1次循环圈花朵

　　

　　数。当N是大于0的整数时：

　　

　　1、对于任意N位数，N次幂来说，循环圈花朵数一定存在，至少有一个圈存在，如N等于2。

　　

　　2、对于任意N位数，N次幂来说，最小的圈循环次数（周期）（1本身也是一个特殊的循环圈花朵数，除开1这个数之外）不一定是1，也不一定是2，对于不同的N来说不一样，如N＝12时，最小的圈是5，它们是：

　　

　　785119716404(5次)，

　　

　　381286065015，

　　

　　142281334933，

　　

　　351184701607，

　　

　　098840282759，

　　

　　N＝18时，最小的圈是2，它们是：187864919457180831，375609204308055082，

　　

　　3、对于任意N位数，N次幂来说，最大的圈相对N位数来说是很小的，但可能上千万，甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。

　　

　　4、我们将循环圈花朵数又叫圈内数或圈上数，非循环圈花朵数又叫圈外数。1的N次幂也等于1，因此，1是循环次数（周期）为1次的循环圈花朵数，也是圈内数。对于任意N位数，N次幂来说，可将N位数分为圈内数和圈外数，所有的圈外数，经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。

　　

　　四、一般地广义来讲，对于任意一个数（可以在有理数范围，且不受位数限制），对正整数N（可也是0）次幂运算来说。

　　

　　1、至少存在一个圈，如N＝0，只有一个圈，圈上数为1，其它所有的数，经过一次运算后，即进入圈。

　　

　　2、对于一定的N来说，圈子的个数是定值。

　　

　　3、对于一定的N来说，最小的圈除1之外，最小的圈循环次数（周期）不一定是1，也不一定是2，对于不同的N不一样，如N＝12时，最小的圈是5。

　　

　　4、对于一定的N来说，最大的圈相对N位数来说是很小的，但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。

　　

　　5、对于N次幂来说，可将所有的有理数分为圈内数和圈外数，所有的圈外数，经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。