证明几何题的一个好方法——向量法

镇远将军 · 发表于 2012-4-1 13:33:30

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　　有这样一道关于棱锥的题目：

　　证明：在一个三棱锥里，若有两组对边垂直，则第三组也一定垂直。

　　如果采用立体几何的方法，证明线面垂直，再来证明线线垂直，有点麻烦，若是采用向量法，则有事半功倍的效果。下面用向量法证明(为了方便，下面向量就没有打向量符号，默认表示向量)：

　　∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴AB·CD=0，AC·BD=0。

　　∴AD·BC=(AB+BD)·(BD+DC)

　　=AB·BD+AB·DC+BD·BD+BD·DC

　　=AB·BD+BD·BD+BD·DC

　　=BD·(AB+BD+DC)

　　=BD·AC

　　=0

　　∴AD⊥BC，得证。

　　这种方法算是最好的证明方法了，我们甚至于根本无须看图，直接推理就出来。向量法无论是在平面几何还是立体几何都有很重要的运用。2011年的重庆高考题，就有所提及。而据我了解，很多中学都是把这一块知识给砍掉的，我不明白这样做的用意，是因为超纲?还是觉得没有必要?不管什么，作为一个学生，多一种方法是有益无害，不管是文科生还是理科生。

　　提起棱锥，还有一个重要的性质：

　　对于一个三棱锥，若有两组对边相等，则第三组中点的连线一定是他们的公垂线。证明方法很简单的。望各位学生都能自己证明看看。像这样的“半成品结论”，我们多记点，无论是考试还是其他方面，往往都能给自己广开思路。在平时的学习中，也不要一味地拒绝所谓的“超纲”内容，多了解一些书本外的东西，早晚你会体会到他的好处。