圆的一个有趣性质

西门大官人

　

　　对于圆的定义，我想就不用我说，今天所说的这个，是圆的一个性质，但是这个性质和圆锥曲线非常类似，而正如我们所知道的，圆可以看做是一种特殊的不得了的椭圆，所以个人经常把他看做圆的定义，虽然这个非常不妥。

　　

　　定理：和两已知点的距离之比等于常数(不等于1)的点的轨迹是一个圆周。

　　

　　设A、B为已知点，求点M的轨迹，使得比MA/MB为一不等于1的常数m。

　　

　　显然C点是一点，MA/MB=AC/CB,利用“角平分线定理”的逆定理知，MC为角AMB的角平分线。而MD外分线段AB，DA/DB=MA/MB，可以知道MD平分角AMB的外角。这个性质可以利用三角形相似以及三角形的面积公式证得。在此先忽略，各位若对此有问题的话，可以留言，如果有必要，我单独起文说明。

　　

　　由此可以知道，角CMD=90°，所以M点在圆周上。

　　

　　这个定义是不是和圆锥曲线的定义很相似？圆锥曲线的定义是到定点和定直线的距离之比为一常数，而这个是到两个顶点的距离之比为一常数。从另外一个角度看，我们还可以看出一些其余的端倪：

　　

　　如果这个比值为1，那么M的轨迹就是AB的垂直平分线，如果比值不为1，那就是一个圆。也就是说，线段在这里可以看成当圆的半径趋于无穷大时候的极限情况。这个看似荒唐的结论其实非常重要，在比较复杂的数学理论里，往往是把直线看成一种特殊圆的，在这里很难说清楚，不过有一个例子可以一窥其妙，那就是托勒密定理。大家可以参考这篇文章：<托勒密定理探究>，也可以参考维基百科的一些资料：关于托勒密定理。