关于连续自然数的k次方和

西门大官人

偶然之间想到，也许这个方法比较有用，对于解决连续自然数的k次方和问题。这个问题我想是每一个学过中学课程的朋友都想过的，我在《阿尔哈曾公式》一文里提到过一种方法。今天来介绍另外一种，应该算是比较简单的一种。那就是用待定系数法。

　　

　　我们首先必须要明白的是下面一个道理：

　　

　　一：若记f(n)=1k+2k+3k+……+nk。那么f(k)一定是一个次数为k+1的多项式，也就是f(n)可以写成下面的形式

　　

　　f(n)=A0+A1n+A2n2+A3n3+……+ak+1nk+1

　　

　　知道了这个的话，我们就可以通过待定系数法求出f(n)的各项系数就行了，从而求出f(n)的确定表达式。除了这个外，我们可以预先了解一些这个多项式的性质。

　　

　　1：第一个性质就是，A0=0。

　　

　　为了证明这个，我们可以记f(n)=0k+1k+2k+3k+……+nk。也就是n的范围扩大到自然数，而不仅仅是正整数。显然这不影响f(n)的表达式，从而f(n)仍然为A0+A1n+A2n2+A3n3+……+ak+1nk+1。若取n=0，则f(n)=0，从而知道A0=0。

　　

　　2：f(n)的系数之和A1+A2+A3+……+AK+1=1

　　

　　这个证明和1一样，你取n=1就行了，这个性质可以拿来检验结果。

　　

　　因此，f(k)=A1n+A2n2+A3n3+……+ak+1nk+1。我们可以通过性质1得到一个数论里的结果

　　

　　f(n)=1k+2k+3k+……+nk一定能被n整除，其中n取自然数。

　　

　　二：应用举例

　　

　　我们就来看看上面的性质的具体应用吧！

　　

　　例1：计算f(1)=1+2+3+……+n

　　

　　设f(n)=An+Bn2.f(1)=1,f(2)=3，所以有

　　

　　A+B=1

　　

　　2A+4B=3

　　

　　解得A=1/2，B=1/2,从而f(n)=1/2n+1/2n2

　　

　　例2：计算f(n)=13+23+33+……n3

　　

　　同样，我们设f(n)=An+Bn2+Cn3+Dn4,f(1)=1,f(2)=9,f(3)=36,f(4)=100,所以：

　　

　　A+B+C+D=1

　　

　　2A+4B+8C+16D=9

　　

　　3A+9B+27C+81D=36

　　

　　4A+16B+64C+256D=100

　　

　　解得:

　　

　　A=0，B=1/4，C=1/2，D=1/4

　　

　　从而得到f(n)的表达式。通过上面的两个例子可以看出，越到后面，计算量越大。不过如果学过线性代数的话，可以通过行列式的理论来解这个方程组，那样会显得很简单。不管如何，这终究是个不错的办法