突破竞赛必考之数论问题

迷失的海鸥 · 发表于 2013-12-24 20:33:25

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上周新希望杯初赛结束，到明年三月，各种数学竞赛接踵而至，为了帮助孩子们能在寒假中更好的备考，咱们就一起来说说关于竞赛中三大难点之一的数论问题。

在考试中出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。因为这类题目通常都很抽象，就像我经常说的孩子们最怕的就是一句话题目，比如：如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍。那么，这个五位数的最大值是多少？像这种题目很抽象，思维难度很大，碰到这种题目很多孩子都无从下手。下面我主要从抓审题、抓基本性质、抓方法这三块来谈谈我对于数论解题的一些浅见。

要想在竞赛中发挥出色，我们就必须了解在竞赛里面数论问题经常呈现的形式，因为数论体系是庞大的，所以我们要有针对性的去了解备考。以创新杯为例，它就经常喜欢出数论中的计数问题及极值问题，如第十届：由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，各个数字之和为奇数的共有多少个？还有第六届中：一个四位数被7,8,9,10除都余3，此四位数最大是多少？等等像此类题型出现的很频繁，在备考的时候也要留心。今天我们就先来谈谈做数论题目的时候该如何抓审题。

数论题目通常都文字较少，特别是拉分题，经常都是一句话，那么要想快速解题，就必须逐字逐句的推敲，尽可能多的获取信息，所以会利用“翻译”法的同学通常能抢占先机，通过把一些抽象的文字翻译成一个数学算式，不仅简洁具体，而且也能更好的找出其中信息。

如：一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍，这个自然数是多少？遇到这种题目与其苦思冥想还不如先翻译一下，假设这个三位数为

，根据题目意思翻译成： =（a+b+c）×18，如此一来所有的信息都在这个算式中，通过观察得出是18的倍数，即同时是2和9的倍数，要满足被9整除，则a+b+c也要是9的倍数，又因为每个数字不超过9，所以a+b+c的和只能为9、18、27，那么乘以18就是对应的，分别为162、324、486，符合条件的就只有162了。