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[数学] 从韦达定理反推一元二次方程判别式

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楼主
发表于 2012-5-2 11:11:03 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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一元二次方程的重要性不言而喻,我也不多废话。初中生都知道,一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数由其判别式△=b2-4ac决定。这个具体内容我也不废话,应该都知道。今天我们来小小地发散思维,利用韦达定理反推判别式。
  
  现在设方程ax2+bx+c=0的两个解为m和n,那么根据韦达定理有:
  
  m+n=-b/a,mn=c/a
  
  根据我们所学的不等式的内容,我们有下面的不等式成立:
  
  (m+n)²≥4mn
  
  现在将韦达定理的内容带入该式有:
  
  b2/a2≥4c/a
  
  两边同时乘以a2:
  
  b2≥4ac
  
  所以,如果原方程有两个实数根,必须要满足b2≥4ac,也就是我们的△≥0,当且仅当m=n时,b2=4ac。原来,二次方程的判别式的来源,竟是一个我们熟知的不等式!虽然推理过程很简单,不过,这里面融合了韦达定理,二次方程判别式,不等式,岂不快斋?
  
  这个地方要说明的是,虽然在中学课本里,我们推导韦达定理是运用求根公式,但是实际上我们有不用其求根公式的证明方法,所以,这样的反推没有循环论证。况且,就算是有循环论证,作为一个课外的融合,作为一种串联各个知识点的方法,也未尝不可
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沙发
发表于 2012-5-2 13:33:40 | 只看该作者
祝越办越好~~~~~~~~~`  
板凳
发表于 2012-5-2 13:33:40 | 只看该作者
{:4_91:}大家都快来看好贴啊!
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