二年级奥数习题详解：枚举法

梨落岚裳

例1 如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状?哪种形状的长方形面积最大?(边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米).

　　

                                 

　　解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.

　　                       

　　(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形).

　　下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)～(5).

　　

　　                                         

　　                                         

　　

                                               

　　

                                                            

                                                               

　　例2 如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来.

　　

                                                            

　　解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.

　　

                                             

　　注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的(1)和(2);又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.

　　                                             

　　例3 在10和31之间有多少个数是3的倍数?

　　解：由尝试法可求出答案：

　　3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21

　　3×8=24 3×9=27 3×10=30

　　可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个.

　　注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：

　　10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数;

　　1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数;

　　333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.

　　由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.

　　例4 两个整数之积为144，差为10，求这两个数?

　　解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：

　　1 2 3 4 6 8 9 12

　　144 72 48 36 24 18 16 12

　　可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求.

　　例5 12枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个?

　　解：列举出两种硬币的可能搭配：

　　

                                          

　　可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.

　　例6 小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能?

　　解：把4封信编号：1，2，3，4.

　　把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.

　　并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：

　　                                          

　　说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.

boomy

我的啦嘿嘿  

LUCY520

好晕啊