三年级奥数基础教程 第19讲 能被3整除的数的特征

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第19讲 能被3整除的数的特征

　　上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？

　　我们先具体观察一些能被3整除的整数：

　　18，345，4737，25674

　　18能被3整除，1+8=9也能被3整除；

　　345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；

　4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；

25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。

怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。

因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：

　　如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。

例1判断下列各数是否能被3整除：

　　2574，38974，587931。

解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；

　　因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；

　　因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。

　　为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如，file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-6826.png表示这个三位数的百、十、个位依次是3，a，5；又如，file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1836.png表示这个四位数的千、百、十、个位依次是a，b，c，d。

例2六位数file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27894.png能被3整除，数字a=？

解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。

例3由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？

解：在1，3，5，7这四个数中，任取三个，共有4组：

1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。由1，3，5可写成135，153，315，351，513，531六个三位数；同理，由3，5，7也能写成6个三位数。

　　所以，符合题意的三位数有6×2=12(个)。例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？

解：除1以外，被2除余1的所有整数是

　　3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，…

　　被3除余1的所有整数是

　　4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…

　　被5除余1的所有整数是

　　6，11，16，21，26，31，36，…

　　上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数。

例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方法是：

　　因为5大于2和3，所以先从被5除余1的数

　　1，6，11，16，21，26，31，36，…

中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31，就为所求。

到五年级学了更多的知识后，还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。

例5同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？

解：能被5整除的三位数是

　　100，105，110，115，120，125，…其中，第一个能同时被2，3整除的数是120(它是偶数，且1+2+0=3)，故120为所求。

练习19

　　1.直接判断25874和978651能否被3整除。

　　3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？

4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？

(2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？

　5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？

　6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？

　7.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。最多能剪成多少段？

　答案与提示 练习19

　　1.不能；能。

　　2.a=0，3，6，9。

　　3.12个。

　　4.(1)7；(2)17。

　　5.30。

　　6.990。

　　7.60段。

　　提示：要使剪成尽量多的小段，2厘米长的应尽量多。因为三种规格都要有，125为奇数，剪去若干个2厘米长的小段后，剩下的长度仍是奇数，所以3厘米、5厘米长的至少要3段，125=114＋3＋3＋5=2×57＋3×2＋5×1，所以2厘米的剪57段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，此时剪成的小段最多，为

　　57＋2＋1=60(段)。

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今天没事来逛逛，看了一下，感觉相当的不错。