三年级奥数基础教程 第20讲 乘、除法的运算律和性质

_/~↘せ亭

第20讲 乘、除法的运算律和性质

　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。

　　1.乘法的运算律

　　乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即

　　a×b=b×a。

　　其中，a，b为任意数。

　　例如，35×120=120×35=4200。

　　乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即

　　a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

　　注意：

(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。

(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有

　　a×b×c=b×(a×c)等。

例1计算下列各题：

(1)17×4×25； (2)125×19×8；

(3)125×72； (4)25×125×16。

　　分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。

解：

(2)125×19×8

　　=(125×8)×19

　　=1000×19

　　=19000；

(3)125×72

　　=125×(8×9)

　　=(125×8)×9

　　=1000×9

　　=9000；

(4)25×125×16或

　　=25×125×2×8

　　=(25×2)×(125×8)

　　=50×1000

　　=50000，

　　25×125×16

　　=25×125×4×4

　　=(25×4)×(125×4)

　　=100×500

　　=50000。

　　乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即

　　(a+b)×c=a×c+b×c，

　　(a-b)×c=a×c-b×c。

例2计算下列各题：

(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25；

(3)2004×25； (4)125×792。

解：

(1)125×(40+8)

　　=125×40+125×8

　　=5000+1000

　　=6000；

(2)(100-4)×25

　　=100×25-4×25

　　=2500-100

　　=2400；

(3)2004×25

　　=(2000+4)×25

　　=2000×25+4×25

　　=50000+100

　　=50100；

(4)125×792

　　=125×(800-8)

　　=125×800-125×8

　　=(125×8)×100-1000

　　=1000×100-1000

　　=1000×(100-1)

　　=99000。

　　2.除法的运算律和性质

　　商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即

　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)

　　=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)

例3计算：

(1)425÷25；(2)3640÷70。

解：

(1)425÷25

　　=(425×4)÷(25×4)

　　=1700÷100

　　=17；

(2)3640÷70

　　=(3640÷10)÷(70÷10)

　　=364÷7

　　=52。

(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即

　　(a±b)÷c=a÷c±b÷c。

　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，

　　(9-6)÷3=9÷3-6÷3。

　　此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如

　　(1000-688-136)÷8

　　=1000÷8-688÷8-136÷8

　　=125-86-17=22。

(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即

　　a÷b÷c=a÷c÷b。

　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，

　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……

例4计算下列各题：

(1)(182+325)÷13；

(2)(2046-1059-735)÷3；

(3)775÷25；

(4)2275÷13÷5。

解：(1)(182＋325)÷13

　　=182÷13+325÷13

　　=14+25

　　=39；

(2)(2046-1059-735)÷3

　　=2046÷3-1059÷3-735÷3

　　=682-353-245

　　=84；

(3)775÷25

　　=(700+75)÷25

　　=700÷25+75÷25

　　=28+3=31；

(4)2275÷13÷5

　　=2275÷5÷13

　　=455÷13

　　=35。

　　3.乘、除法混合运算的性质

(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，

　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。

(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：

　　括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即

　　a×(b×c)=a×b×c，

　　a×(b÷c)=a×b÷c。

　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即

　　a÷(b×c)=a÷b÷c，

　　a÷(b÷c)=a÷b×c。

　　添加括号情形：

　　加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即

　　a×b×c=a×(b×c)，

　　a×b÷c=a×(b÷c)，

　　a÷b÷c=a÷(b×c)，

　　a÷b×c=a÷(b÷c)。

(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即

　　(a×b)÷(c×d)

　　=(a÷c )×(b÷d)

　　=(a÷d)×(b÷c)。

　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。

例5计算下列各题：

(1)136×5÷8

　　=136÷8×5

　　=17×5=85；

(2)4032÷(8×9)

　　=4032÷8÷9

　　=504÷9=56；

(3)125×(16÷10)

　　=125×16÷10

　　=256×4

(4)2560÷(10÷4)

　　=2560÷10×4

　　＝1024；

(5)2460÷5÷2

　　=2460÷(5×2)

　　=2460÷10

　　=246；

(6)527×15÷5

　　=527×(15÷5)

　　=527×3

　　=1581；

(7)(54×24)÷(9×4)

　　=(54÷9)×(24÷4)

　　= 6×6=36。

练习20

　　用简便方法计算下列各题。

　　1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。

　　2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。

　　3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。

　　4.(1)(128+1088)÷8；

　　(2)(1040-324-528)÷4；

　　(3)1125÷125；

　　(4)4505÷17÷5。

　　5.(1)384×12÷8；

　　(2)2352÷(7×8)；

　　(3)1200×(4÷12)；

　　(4)1250÷(10÷8)；

　　(5)2250÷75÷3；

　　(6)636×35÷7；

　　(7)(126×56)÷(7×18)。

答案与提示练习20

　　1.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。

　　2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。

　　3.(1)55；(2)56。

　　4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。

　　5.(1)576；(2)42；(3)400；(4)1000；

(5)10；(6)3180；(7)56。